转：离散数学--环_zhihong

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转：离散数学--环

(2013-03-09 10:53:59)

分类：离散数学

环（Ring)是一种抽象的广义”算术”(一种“数学结构”)，在其上定义了两种算法：加法与乘法。对加法而言，环是一个可交换的加法群（也叫阿贝尔群），但是，对乘法而言，环的自身只具有可结合性与对加法的可分配性，未必具有可交换性。这种数学结构存在于许多数学领域，特别是代数学与数学分析（即高等微积分学）研究领域，比如，矩阵环、多项式环，无穷级数环以及函数环，微分算子环，等等。可以说，“环论”是现代数学转向研究各种抽象数学结构的一个典型案例。

在1920年，环论进入了发展的高峰期。与群论类似，在环结构里面也会存在所谓的“子环”，有一类“子环”具有某种封闭性，很顽固，对其中的元素无论如何相乘其他环元素也不会”出圈“，人们称这种子环为该环的“理想”（Idea)。不存在“理想”的环叫做“素性环”。

应该说，环论（即“抽象算术”）是通往数理逻辑模型论的康庄大道。根据哥德尔的紧致性定理，一般的环结构必存在一种“非标准环”，无穷小环，......

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