F=-k·x

胡克定律的表达式为F=-k·x或△F=-k·Δx，其中k是常数，是物体的劲度系数（倔强系数）（弹性系数）。在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。劲度系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。

胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力F和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F= -k·x 。k是物质的弹性系数，它只由材料的性质所决定，与其他因素无关。负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。

Fn ∕ S=E·（l ∕ l。）

满足胡克定律的弹性体是一个重要的物理理论模型，它是对现实世界中复杂的非线性本构关系的线性简化，而实践又证明了它在一定程度上是有效的。然而现实中也存在这大量不满足胡克定律的实例。胡克定律的重要意义不只在于它描述了弹性体形变与力的关系，更在于它开创了一种研究的重要方法：将现实世界中复杂的非线性现象作线性简化，这种方法的使用在理论物理学中是数见不鲜的。

式中Fn表示一个被命名为n的力（简单的说就是一个力），比例系数E成为弹性模量，也称为杨氏模量，由于△l ∕l。为纯数，故弹性模量和应力具有相同的单位，弹性模量是描写材料本身的物理量，由上式可知，应力大而应变小，则弹性模量较大；反之，弹性模量较小。弹性模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力，对于一定的材料来说，拉伸和压缩量的弹性模量不同，但二者相差不多，这时可认为两者相同。^[1] 

材料力学和弹性力学的基本规律之一。由R.胡克于1678年提

出而得名。胡克定律的内容为：在材料的线弹性范围内，固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ=Εε，式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。胡克定律为弹性力学的发展奠定了基础。各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：

σ11=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε11，σ23=2Gε23，

σ22=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε22，σ31=2Gε31，

σ33=λ（ε11+ε22+ε33）+2Gε33，σ12=2Gε12，及

式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j=1，2，3）；λ和G为拉梅常量，G又称剪切模 量；E为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。λ、G、E和v之间存在下列联系： 式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。

根据无初始应力的假设，（f 1）0应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标 无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为

上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。

广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个。

如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数。

但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。

这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。^[2] 

在线弹性阶段，广义胡克定律成立，也就是应力σ1<σp（σp为比例极限）时成立。在弹性范围内不一定成立，σp<σ1<σe（σe为弹性极限），虽然在弹性范围内，但广义胡克定律不成立。

起初，胡克在做实验的过程中，发现“弹簧上所加重量的大小与弹 簧的伸长量成正比”，他又通过多次实验验证自己的猜想。1678年，胡克写了一篇《弹簧》论文，向人们介绍了对弹性物体实验的结果，为材料力学和弹性力学的发展奠定了基础。

19世纪初，在前者做了不少实验工作的前提下，英国科学家托马斯·杨的总结了胡克等人的研究成果，指出：如果弹性体的伸长量超过一定限度，材料就会断裂，弹性力定律就不再适用了，明确地指出弹性力定律的适用范围。（超出该适用范围的形变就叫做范性形变）

至此，经过许多科学家的辛勤劳动，终于准确地确立了物体的弹性力定律。后人为纪念胡克的开创性工作和取得的成果，便把这个定律叫做胡克定律。^[3] 

胡克定律的另一称法——郑玄-胡克定律

胡克定律是由英国力学家胡克(Robert Hooke, 1635-1703) 于1678年发现的，胡克提出该定律的过程颇有趣味，他于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是：ut tensio sic vis，意思是“力如伸长（那样变化）”^[4] ，这正是胡克定律的中心内容。实际上早于他1500年前，东汉的经学家和教育家郑玄（公元127-200）为《考工记·马人》一文的“量其力，有三钧”一句作注解中写到：“假设弓力胜三石，引之中三尺，驰其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”，正确地提示了力与形变成正比的关系，而郑玄的发现要比胡克要早一千五百年。因此有物理学家认为胡克定律应称之为“郑玄-胡克定律”。^[5] 

胡克的发现直接导致了弹簧测力计———测量力的基本工具的诞生，并且直到今天的物理实验室还在广泛使用。弹簧测力计的原理也即是“胡克定律”。^[6] 

几种常见材料的弹性模量

胡克定律的张量形式

若要对处于三维应力状态下的材料进行描述.需要定义一个包含81个弹性常数的四阶张量cijkl以联系二阶应力张量σij和应变张量(又称格林张量)εkl。

由于应力张量.应变张量和弹性系数张量存在对称性(应力张量的对称性就是材料力学中的剪应力互等定理).81个弹性常数中对于最一般的材料也只有21个是独立的.

由于应力的单位量纲(力/面积)与压强相同.而应变是无量纲的.所以弹性常数张量cijkl中每一个元素(分量)都具有压强的量纲.
　　对于固体材料大变形力学行为的描述需要用到新胡克型固体模型(neo-hookeansolids)和mooney-rivlin型固体模型^[7] 

弹簧方程

胡克定律能精确地描述普通弹簧在变形不太大时的 力学行为.胡克定律应用的一个常见例子是弹簧.在弹性限度内.弹簧的弹力f和弹簧的长度变化量x成线性关系.即:
　　f=.kx　式中k是弹簧的劲度系数(或称为倔强系数).它由弹簧材料的性质和几何外形所决定.负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反.这种弹力称为回复力.表示它有使系统回复平衡的趋势.满足上式的弹簧称为线性弹簧.