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第一数学归纳法的证明

(2012-05-13 13:41:00)

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分类：数学感悟

时常用数学归纳法（特别是第一数学归纳法）证明和自然数有关的命题，而普通高中教材上并没有给出数学归纳法本身的证明（也不可能给出），下面就简单的说一下第一数学归纳法的证明。（运用归纳理论的时候，还要思考，对于理论的本质是什么）

（第一数学归纳法）设P(n)是一个和关于自然数的命题，如果P(n)满足以下条件：

（1）P（1）成立。

（2)在P（k）成立的前提下，可以推出P（k+1）成立，则命题P（n）对于所有自然数n都成立。

如果比作多米诺骨牌，这个结论是显然的，但是需要的是严格的证明。

证明：设A是使得P(n)成立的自然数的集合，由于P（1）成立，显然1∈A.又在P（k）成立的前提下，可以推出 P（k+1）成立，所以如果k∈A，其后继元k'也属于A。由皮亚诺公理中的归纳公理就得A=N（全体自然数组成的集合）。因此，命题P（n）对于所有自然数n都成立。

证毕！（当然，某些对于前几个自然数不成立的命题，同样用数学归纳法证明，因为“对前几个自然数不成立”不是实质的）

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