相遇问题

行程问题根据两人的行驶方向的异同分为同向和反向两种，而反向行驶又包括相遇问题和相背问题，同向行驶的追及问题．

 

 这一节课我们主要来研究相遇问题．相遇问题里用的比较多的是上面公式的变形： 

 路程和=速度和×相遇时间

速度和=路程和÷相遇时间

相遇时间=路程和÷速度和

例1、甲、乙二人分别从相距300千米的两地同时出发相向而行，甲每小时行35千米，经过5小时相遇，问：乙的速度是多少？

 

【分析】甲乙5个小时路程和是300千米，相遇时间是5小时，所以二人的速度和是300÷5=60千米/时，乙的速度是60-35=25千米/时．

 

例2、甲、乙两列火车同时从两地相向开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米．两车相遇时，甲车正好走了300千米，两地相距多少千米？

 

【分析】相遇时甲走了300千米，所以甲走了300÷50=6时，这6时正好是甲、乙两车的相遇时间，两地的距离（50＋60）×6=660千米．

 

 

例3、甲、乙两列火车同时从相距380千米的两地相向开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米．乙车比甲车晚出发1小时，乙车出发后，甲、乙两车几小时相遇？

 

【分析】乙车晚出发1小时，则乙车出发时甲已经行驶了50×1=50千米，此时甲、乙两车的距离是380-50=330千米，所以乙车出发后，相遇时间为330÷（50+60）=3小时．

 

 

例4、一列货车从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，客车出发后4小时两车相遇，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？

 

【分析】货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时45＋15=60千米；两车相遇时，货车已行了4+2=6小时，货车所行驶的路程是45×6=270千米，客车行驶的路程是60×4=240千米，甲、乙两地之间的路程270+240=510千米，客车行完全程所用时间：510÷60＝8.5（小时）.客车到甲地时，货车离乙地的距离：510－45×（8.5＋2）=510 472.5＝37.5（千米）．

 

例5、甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，甲车从A地、乙车从B地同时出发相向而行，两车相遇后4.5时，甲车到达B地，A、B两地相距多少千米？

 

【分析】两车相遇后4.5小时，甲车到达Ｂ地，注意到甲车４.5小时走的正好是乙相遇时所行的路程，所以相遇时乙行了4.5×40=180（千米），相遇时间为180÷60=3（小时），ＡＢ两地的距离是（40＋60）×3=300（千米）．

 

 

例6、甲乙两辆汽车同时从相距820千米的两地出发相向而行，甲车的速度是80千米/时，乙车的速度是60千米/时，甲车由于有故障在中途停下来修车用了2小时，问：甲、乙两车出发后几小时相遇？

 

【分析】由题意可知820千米不是两车共同走的，其中有两个小时是乙车单独走的，即60×2=120（千米），因此两车共同走的路程是820-120=700（千米）．这段路程所用的时间是700÷（80＋60）=5（时），所以甲、乙两车出发后相遇的时间是5＋2=7（时）．

 

例7、甲乙两站相距360千米．客车和货车同时从甲站驶向乙站,客车每小时行60千米,货车每小时行40千米,客车到达乙站后停留0.5小时,又以原速返回甲站,两车对面相遇的地点离乙站多少千米?

 

【分析】客车到达乙站的时间360÷60=6时，返回甲站时，货车行了6.5小时，行了40×6.5=260千米，即此时两车相距360-260=100千米，相遇用时100÷（60+40）=1时，到乙站60×1=60千米．

 

 

例8、甲乙两车分别同时从AB两城相向行使6小时后可在途中的某处相遇，甲车因途中发生故障抛锚，修理2.5小时后才继续行使，因此从出发到相遇经过7.5小时，那么甲车从A到B 共用多长时间？

 

【分析】因为甲车行驶了7.5-2.5=5小时，乙车行驶了7.5小时，甲车比实际少行了1小时，乙车比实际多行了1.5小时，所以甲车行驶1小时的路程乙车需要1.5小时,所以乙车行7.5个小时的路程甲车需要7.5÷1.5=5小时，所以甲车从A到B 共用5+7.5=12.5小时．

 

例9、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行42千米，当甲车比乙车多行32千米时，甲、乙两车在途中相遇，求A、B两地相距多少千米？

 

【分析】 甲车每小时比乙车快50-42=8千米，相遇时甲车比乙车多行了32千米，所以相遇时甲、乙两车行了32÷8=4小时，两地的距离（52＋42）×4=368（千米）答：A、B两地相距368千米．

 

例10、东西两镇相距45千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？

 

【分析】两人速度和是45÷5=9千米/时，甲比乙每小时多行1千米，所以乙的速度是（9-1）÷2=4千米/时，甲的速度是4+1=5千米/时．

 

 

例11、甲乙两地相距450千米,快慢两列火车同时从两地相向开出,3小时后两车在距中点12千米处相遇,快车、慢车的速度是多少千米？

 

【分析】距中点12千米相遇，此时快车比慢车多行了12×2=24千米，由和差问题快车行驶的路程（450+24）÷2=237千米，快车的速度：237÷3=79千米/小时，慢车的速度：（450-237）÷3=71千米/小时．

 

 

例12、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,它们相遇时距A、B两地中心处8千米,已知甲车速度是乙车的1.2倍,求A、B两地的距离是多少千米．

 

【分析】相遇时甲乙的路程差是8×2=16千米，又有甲乙的速度倍数正好是路程的倍数，所以乙车行驶的路程8×2÷（1.2－1）=80千米，A、B两地的距离80×（1＋1.2）=176千米．

 

 

例13、甲乙两地相距258千米．一辆汽车和一辆拖拉机同时分别从两地相对开出,经过4小时两车相遇．已知汽车的速度是拖拉机速度的2倍．相遇时,汽车比拖拉机多行多少千米？

 

【分析1】汽车和拖拉机的速度和是258÷4=64.5千米/小时，所以拖拉机的速度是64.5÷（2＋1）=21.5千米/小时，汽车速度是21.5×2=43千米/小时，所以两人路程差是43×4-21.5×4=86千米．

 

【分析2】因为汽车速度是拖拉机速度2倍，又行驶时间相同，所以汽车行驶路程是拖拉机的2倍，因此拖拉机行驶的路程是258÷（2＋1）=86千米．汽车和拖拉机的路程差是86×（2－1）=86千米．

 

例14、甲乙两城相距420千米，两辆汽车同时从甲城开往乙城，第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米，第一辆汽车到达乙城后立即返回，两辆车从开出到相遇共用几小时？

 

【分析】两车相遇时，共行驶了两个全程，再根据两车的速度和以及路程和求出时间．420×2÷（42＋28）=12小时．

 

例15、两辆汽车从两地同时出发，相向而行．已知甲车行完全程比乙车多用1.5小时，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，出发后多长时间两车相遇？

 

【分析】乙车行完全程的时候甲车还离终点还有40×1.5=60千米，也就是说乙车在同样的时间内比甲车多行了60千米，而乙车一小时比甲车多行50-40=10千米，所以乙车行完全程用60÷10=6小时，两地的距离是50×6=300千米．所以甲乙的相遇时间是300÷（40+50）=3小时20分．

 

例16、甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米，问A、B两地相距多少千米？

 

【分析】甲乙两车4小时相遇，说明两车行驶一个全程需要4个小时，如果要行驶两个全程需要4×2=8个小时，也就是两车再行驶4个小时就正好行驶了两个全程．此题中两车共行驶了4＋3=7个小时，还差8－7=1小时就行驶了两个全程．而如果两车再行驶10＋80=90千米，就正好是两个全程，也即 个小时他们可以行驶90千米，即两车的速度和．A、B距离:90×4=360千米．

 

例17、A、B两地相距1800米。甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行。相遇后甲又走了8分钟到达B地，乙又走了18分钟到达A地，求甲乙两人的速度各是多少？

 

【分析】相遇后甲（乙）走的路程就是乙（甲）相遇时所走的路程，所以 ，因此相遇时间是12分，甲的速度：1800÷（12+8）=90米/分，乙的速度：1800÷（12+18）=60米/分。

 

例18、A、B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇，已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟行多少米？

 

【分析】相遇时，小明行驶了5＋10=15分钟，小军行驶了10分钟．小军骑车比小明步行每分钟多行130米，那么10分钟小军就比小明多行驶了130×10=1300米，也就是如果小军和小明的速度一样的话，小明和小军可以行驶2800－1300=1500米，相当于小明行驶了15＋10=25分钟，从而可以求出小明的速度：1500÷25=60米/分。

 

例19、甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相距多少米？

 

【分析】丙遇到乙后此时与甲相距（50＋70）×2=240米，也是甲乙的路程差，所以240÷（60-50）=24分，即乙丙相遇用了24分钟，A、B相距（70+60）×24=3120米．

 

例20、在一条公路上，甲乙两地相距600米．张明每小时行使4千米，李强每小时行使5千米，8点整，他们二人同时从甲乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都掉头反向而走，再过3分钟他们又掉头相向而行，依次按照1，3，5，7…（连续奇数）分钟掉头行走，那么张李两人相遇时是8点多少分？

 

【解析】第一次相向而行前进1分钟，第二次反向而行前进3分钟，第三次前进5分钟，第四次前进反向前进7分……假设前进的时间为有效时间，那么有效时间为0.6÷（4+5）=1/15=4分,1-3+5-7+9=5分，所以最后一轮只需要相向而行4分钟即可，所以总共需要的时间为1+3+5+7+8=24分钟．

 

 

课后作业：

1、甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？

 

 

 

 

 

2、两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇．两个车站之间的铁路长多少千米？

 

 

 

 

 

 

3、甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇．甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？

 

 

 

 

 

4、甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米．已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？

 

 

 

 

 

5、A、B两地相距3300米，甲、乙两人同时从两地相对而行，甲每分钟走82米，乙每分钟走83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟才可以相遇？

 

 

 

 

 

 

6、一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇．已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？

 

 

 

 

 

7、两地相距270千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知甲车的速度是乙车的1.5倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？

 

 

 

 

 

8、甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？

 

 

 

 

 

9、甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行40千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇．乙车每小时行多少千米？

 

 

 

 

 

10、甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行．已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行32千米，在距中点26千米处两车相遇．求甲乙两地相距多少千米？

 

 

 

 

 

11、姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长700米．妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自行车以每分钟140米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇．这时妹妹走了几分钟？

 

 

 

 

 

12、小明和小华从甲、乙两地同时出发，相向而行．小明步行每分钟走60米，小华骑自行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？ 

 

 

 

 

 

13、A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行．各自达到目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二次相遇．已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米?

 

 

 

 

 

14、甲、乙二人同时从相距27千米的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后，甲继续走6小时到达B地，求：甲乙二人的速度是多少？

 

 

 

 

 

15、甲、乙两地间的路程是600千米,上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地．货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇,货车必须上午几点出发？

 

 

 

 

 

16、甲、乙两地相距352千米．甲、乙两汽车从甲、乙两地对开．甲车每小时行36千米,乙车每小时行44千米．乙车因事,在甲车开出32千米后才出发．两车从各自出发起到相遇时,哪辆汽车走的路程多?多多少千米？

 

 

 

 

 

 

17、甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇。已知小轿车比大客车每小时多行20千米，问：大客车每小时行多少千米？

 

 

 

 

 

18、王明回家,距家门300米,妹妹和小狗一齐向他奔来,王明和妹妹的速度都是每分钟50米,小狗的速度是每分钟200米,小狗遇到王明后用同样的速度不停往返于王明与妹妹之间．当王明与妹妹相距10米时,小狗一共跑了多少米？