《 鸽 巢 问 题 》 教 学 设 计

教学内容

审定人教版六年级下册数学P68、69《数学广角  鸽巢问题》。

设计理念

《鸽巢问题》既鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

首先，用具体的操作，将抽象变为直观。“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢？我觉得要让学生充分的操作，一在具体操作中理解“总有”和“至少”；二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作，最直观地呈现“总有一个筒至少放进2支笔”这种现象，让学生理解这句话。

其次，充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵着学生去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。

再者，适当把握教学要求。我们的教学不同奥数，因此在教学中不需要求学生说理的严密性，也不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物体”。

教材分析

《鸽巢问题》这是一类与“存在性”有关的问题，如任意13名学生，一定存在两名学生，他们在同一个月过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“鸽巢问题”。

通过第一个例题教学，介绍了较简单的“鸽巢问题”：只要物体数比鸽巢数多，总有一个鸽巢至少放进2个物体。它意图让学生发现这样的一种存在现象：不管怎样放，总有一个筒至少放进2支笔。呈现两种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有情况。二是假设法，用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过前一个例题的两个层次的探究，让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况，能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。

第二个例题是在例1的基础上说明：只要物体数比鸽巢数多，总有一个鸽巢里至少放进（商+1）个物体。因此我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”，并能用有余数的除法算式表示思维的过程。

学情分析

可能有一部分学生已经了解了鸽巢问题，他们在具体分得过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。还有部分学生完全没有接触，所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”。

教学目标

1.通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。渗透“建模”思想。

2.经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

3.通过“鸽巢原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。

教学重点

经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。

教学难点

理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

教具准备：相关课件   相关学具（若干笔和筒） 

教学过程

 一、游戏激趣，初步体验。

1．扑克游戏：

（1）教师介绍：一副牌，取出大小王，还剩52张牌，选5个人每人随意抽一张，我知道至少有2张牌是同花色的，相信吗？

（2）游戏验证：体会不管怎么抽，总有一种花色至少两张牌。

 [设计意图：联系学生的生活实际，激发学习兴趣，使学生积极投入到后面问题的研究中。]

    2．刚才这个游戏中，蕴藏着一个数学问题，这节课我们就一起来研究这个有趣的问题。

二、操作探究，发现规律。

1．具体操作，感知规律

教学例1改编    5支笔，四个筒，可以怎么放？请同学们运用实物放一放，看有几种摆放方法？

（1）学生汇报结果

         （5，0，0，0） （4，1，0，0） （3，2，0，0） （2，2，1，0）（2，1，1，1）

（2）师生交流摆放的结果，强调做到有序思考。

（3）小结：不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔。

 (学情预设:学生可能不会说，“不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔。”)

[设计意图：鸽巢问题对于学生来说，比较抽象，特别是“不管怎么放，总有一个筒里至少放进了2支笔。”这句话的理解。所以通过具体的操作，枚举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的筒，理解“总有一个筒里至少放进了2支笔”。让学生初步经历数学证明的过程，训练学生的逻辑思维能力。]

质疑：我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一次，也能得到这个结论的方法呢？

2．假设法，用“平均分”来演绎“鸽巢问题”。

（1）思考，同桌讨论：要怎么放，只放一次，就能得出这样的结论？

学生思考——同桌交流——汇报

（2）汇报想法

预设生1：我们发现如果每个筒里放1支笔，最多放4支，剩下的1支不管放进哪一个筒里，总有一个筒里至少有2支笔。

（3）学生操作演示分法，明确这种“每个筒里先放一样多的”分法其实就是“平均分”,平均分是保证“至少”的最好方法。（板书：5÷4）

 [设计意图：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。]

（4）把6支笔放到4个筒里，总有一个筒里至少放进了几支笔？7支呢？

学生思考——操作——列式计算——汇报（问：余下的2根为什么不放在一起？）

3．你理解刚才的扑克牌游戏的道理了吗？如何用算式来表示？

三、探究归纳，形成规律

1．课件出示例2：7只鸽子飞回3个鸽巢里，至少有3只鸽子飞进同一个鸽巢里。为什么？

     [设计意图：引导学生用平均分思想，并能用有余数的除法算式表示思维的过程。]

根据学生回答板书：7÷3=2……1    至少3只

（学情预设：会有一些学生回答，至少数=商+余数   至少数=商+1）

根据学生回答，师边板书：至少数=商+余数？

                        至少数=商+1   ？

2．师依次创设疑问：8只鸽子飞回3个鸽巢呢，至少有几只鸽子飞进同一个鸽巢里？10只鸽子飞回3个鸽巢呢？9只鸽子飞回5个鸽巢呢？（根据回答，依次板书）

8÷3=2……2     2+1=3

10÷3=3……1    3+1=4

9÷5=1……4     1+1=2

观察板书，同学们有什么发现吗？

得出“物体的数量大于鸽巢的数量，总有一个鸽巢里至少放进（商+1）个物体”的结论。

   板书：至少数=商+1

   [设计意图：对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上，从“至少2支”得到“至少商+余数”个，再到得到“商+1”的结论。]

师过渡语：同学们的这一发现，称为“鸽巢原理”，也称“抽屉原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。

四、运用规律解决生活中的问题

课件出示习题.：

1．5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？

2． 5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？

3．11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了(     )只鸽子。

4.随意找(     ) 位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？

5. 13个小朋友同行，其中必有几个小朋友同月生日。

……

[设计意图：让学生体会平常事中也有数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。]

 五、课堂总结

这节课我们学习了什么有趣的规律？请学生畅谈，师总结

 

 

板书：                 鸽巢问题

例1（5,0,0,0）                 例2

（4,1,0,0）              7÷3=2……1   2+1=3 

（3,2,0,0）              8÷3=2……2   2+1=3

（2,2,1,0）             10÷3=3……1   3+1=4

（2,1,1,1）              9÷5=1……4   1+1=2

总有一个筒里至少有2支笔       至少数=商+1

5÷4=1……1

          　《鸽巢问题一》评课稿

　　　　　　　　　　　　　　　　　徐显容　

《鸽巢问题》是人教版六年级下册数学广角的内容，与前后知识点没有联系，比较孤立。数学广角主要是数学思想方法的渗透，提升思维水平。虽然小学阶段的鸽巢原理的内容比较简单，但是学生建立鸽巢原理的一般化模型比较困难。胡老师《鸽巢问题》一课，给我整体的感觉是教师教得扎实，学生学得有效。她能够根据新课改的要求努力做到，以学生为主体，以教师为主导，放手学生又有效调控课堂。在教学过程中充分发挥了学生的主体性，胡老师的这节课有以下亮点：

     1、激发了学生的学习兴趣，引发了学生的求知欲。

    课前胡老师通过玩扑克牌游戏导入，非常贴切新课，吸引了同学们的眼球，激发了学生的学习兴趣。而当胡老师说“我不用看就知道你们当中肯定有2张同花色的牌”，胡老师为什么能做出如此准确的判断？道理是什么？这其中是不是蕴含着一个有趣的数学原理，引发了学生学习数学的求知欲，为学生学习鸽巢原理作了很好的铺垫。

    2、用具体的操作，将抽象变为直观。

本节课陈老师组织的教学结构紧凑，实施过程层层推进上的扎实有效，教师通过让学生小组合作动手操作4根牙签放进3个纸杯里，探究例1：把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放总有一个笔筒里至少有2支铅笔。先让学生用枚举法，把所有情况摆出来，运用直观的方式，发现并描述：理解简单的“鸽巢原理”，举例后学生感知理解“铅笔比笔筒多1时，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。再让学生探究解决问题的简便方法，即“平均分”的方法，在这节课中，由于胡老师提拱的数据较小，为学生自主探索和理解“鸽巢原理”提供了很大的空间，使学生经历了一个初步的数学证明过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑思维能力。

    3、注意渗透数学和生活的联系，并在游戏中深化知识。

   学了“鸽巢原理”有什么用？能解决生活中的什么问题？教学中教师注重了联系学生的生活实际。课前老师设计了一组简单、真实的生活情境：“让一名学生在一副去掉了大小王的扑克牌中，任意抽取五张，老师猜：总有一种花色的牌至少有两张。”课的结尾又通过摸球游戏，让学生进一步体会鸽巢原理的应用。学完鸽巢原理后，让学生用学过的知识来解释这些现象，有效的渗透“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。

4、多媒体课件的应用课堂教学更直观形象。

本节课多媒体课件的使用，使知识形成的过程更形象直观的展现给学生，把抽象的枯燥的数学原理用生动形象的动画呈现在学生眼前。不但激发了学生的学习兴趣，还充分发挥了学生用视觉获取知识的优势。

虽然胡老师在课堂上的“精彩”深深憾动了我，但我觉得她在一些微小的细节中语言略显不够精炼，板书也需要再提高，如能再在细微处更上一层楼那就更完美了。

总之，整节课的教学活动，充分发挥了学生的主体作用，教师提供了独立思考、主动探索的空间，还为学生创设了良好的交流氛围，学生在思考、操作、讨论交流的过程中获得数学概念、数学方法，促进了学生全面发展。