（a为高位根，c为（高位值-高位根的n次方）+本位，本位b满足不等式）

原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b, 

则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值 

用纯文字描述比较困难,下面用实例说明: 

我们求 2301781.9823406 的5次方根: 

第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐; 

23'01781.98234'06000'00000'00000'.......... 

从高位段向低位段逐段做如下工作: 

初值a=0,差c=23(最高段) 

第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1 

差c=23-b^5=22,与下一段合成, 

c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781 

第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b, 

条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781, 

b取最大值8,差c=412213,与下一段合成, 

c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234 

第4步:a=18,找下一个b, 

条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234, 

b取最大值7 

说明:这里可使用近似公式估算b的值: 

当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即: 

b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7 

以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值 

差c=1508808527;与下一段合成, 

c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000 

第5步:a=187,找下一个b, 

条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即: 

(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000, 

b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成, 

c=c*10^5+下一段=2833590858436800000 

第6步:a=1872,找下一个b, 

条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即: 

(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000, 

b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成, 

c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 

............................. 

最后结果为:18.724......