1. 凹凸性的几何定义

一个在整个定义域中给出峰顶（谷底）的函数被称为凹（凸）函数。若山峰（谷底）仅在定义域的子集S中出现，则称函数在子集S上凹（凸）。

在非严格的情况下，允许峰顶或谷底包含一个或多个平坦（相对于弯曲）的部分，比如线段（在曲线上）或者线段和平面（在曲面上）。但“严格”一词的存在，则排除了线段或平面存在的可能性。

2. 凹凸性的微分判别条件

更具体地，若d²z处处为半负（正）定，则函数z＝f(x₁,x₂,...,x_n)必定为凹（凸）函数；若d²z处处为负（正）定，则f必为严格凹（严格凸）函数。

3. 双变量函数的凹凸性

〔定义〕对于函数z=f(x₁,x₂)，在函数曲面上找任意两个不同的点M和N，连接线段MN，当且仅当MN位于曲面表面或曲面下方（上方）时，函数z为凹（凸）函数。当且仅当除了点M和N外，线段MN完全位于曲面下方或上方时，函数z为严格凹（严格凸）函数。

4. n维双变量函数的凹凸性

〔定义〕对于函数f定义域内任意两个不同的点u和v，且0<θ<1，当且仅当

θf(u)+(1-θ)f(v) {<=，>=} f[θu+(1-θ)v]时，f为凹（凸）函数。

不等号前为线段的高度，不等号后为弧的高度。

两个端点M和N被排除，θ限定在开区间（0，1）中。

将弱不等号“<=”和">="分别变换成严格不等号“<”或“>”，上述定义便适应于严格凹性和凸性的定义。

5. 凹性和凸性的3个定理

定理一（线性定理） 若f(x)是一个线性函数，则此函数既可以是凹函数，也可以是凸函数，但不是严格凹或凸的函数。

定理二（函数的正负与凹凸性） 若f(x)为凹函数，则－f(x)为凸函数，反之亦然；类似地，若f(x)为严格凹函数，则-f(x)为严格凸函数，反之亦成立。

定理三（函数的和）若f(x)与g(x)均为凹（凸）函数，则f(x)＋g(x)也为凹（凸）函数；若f(x)和g(x)均为凹（凸）函数，且其中至少有一个为严格凹（严格凸）函数，则f(x)+g(x)为严格凹（严格凸）函数。

6. 凹凸性概念的导数定义形式

[单变量函数凹凸性的定义] 对于定义域中任意两个不同的给定点u和v，当且仅当

f(v) {<=,>=} f(u)+f'(v-u)

时，可微函数f(x)为｛凹函数，凸函数｝。

如果上式中弱不等号换成相应的严格不等号，上面的定义就变成严格凹性或凸性的定义。

从几何上看，此定义将凹（凸）曲线描绘成一条与其切线重合或者位于其切线下面（上面）的曲线。而严格凹（严格凸）曲线必须位于所有切线的下方（上方），但切点除外。

7. 凹凸性的微分检验

当且仅当d²z处处为｛负，正｝半定时，则二阶连续可微函数z=f(x₁,...,x_n)是｛凹函数，凸函数｝。当（但不是仅当）d²z为处处｛负，正｝定时，所说的函数为严格｛凹，凸｝函数。

8. 凸集

令S为2维空间或3维空间中的点集，对于S中的任意两点，若连接两点的线段完全位于S内，则称S为凸集。

直线，点，零集，都是凸集。

9. 向量凸组合

〔定义〕两个向量u和v的凸组合可以写成：

k₁u+k₂v

其中k₁和k₂是两个标量。当两个标量均位于闭区间[0,1]内，且两者之和为1时，此线性组合称作凸组合，且可表示成

θu＋(1-u)v (0<=θ<=1)

我们可以将这样的凸组合解释成两个向量的加权平均。

10 . 凸集的代数定义

对于任意两点u∈S和v∈S，且对于每一个标量θ∈[0,1]，当且仅当w=θu＋(1-θ)v ∈S为真时，集合S为凸集。

11. 凸集和凸函数定义的关系

函数的凸性确定一条曲线或曲面是如何弯曲的，集合的凸性确定集合中的点是如何“填充”的。

凸集和凸函数的联系：

定义凸函数时，我们需要定义域为凸集。