再一般的，我们定义线性算子，设 为 上的线性空间， 为 的线性子空间，映射 称为线性算子，若取  有:

线性变换

Def：A transform defined in linear space is called linear transform. If ,  there exist

 http://s16/mw690/002mz69Kzy75nDuvZ27bf&690

这样的例子还有很多，比如旋转变换，旋转后向量仍然满足线性。线性空间 V上全体线性变换对于以下定义的加法和数乘，也构成数域P 上的一个线性空间。

线性泛函：

Def:   linear functional

Let V be a linear space over F. A linear functional is a function L from V to F such that

http://s6/mw690/002mz69Kzy75nDBunid85&690

其中 , .从定义中可以看出线性泛函与线性变换是十分相似的。不同点是，线性变换是线性空间到自身的映射，线性泛函是线性空间到复数域上的映射。与线性变换一致，线性空间 上的线性泛函全体记为 ,称为 的代数对偶空间，若 是赋范空间，则其上的有解线性泛函全体称为拓扑对偶空间，简称对偶空间或共轭空间。

再一般的，我们定义线性算子，设 为 上的线性空间， 为 的线性子空间，映射 称为线性算子，若取  有:

http://s8/mw690/002mz69Kzy75nGypduDf7&690