数学组公开课：

数学组公开课：

1. 温小允《圆的标准方程》高一14班   2023年3月21日

2. 黄丽琴《圆的标准方程》高一14班   2023年3月21日

3. 姜诗意《两条直线平行》高一3班    2023年3月21日

4. 倪郁朝《两条直线平行》高一3班    2023年3月21日

5. 杨素娟《积商幂的对数》高一2班   2023年2月28日

6. 林少微《积商幂的对数》高一2班   2023年2月28日

7. 黄山《对数和对数运算的复习》高一8班  2023年2月28日

8. 郑传共《对数和对数运算的复习》高一8班  2023年2月28日

9. 陈小勇《等差数列前n项和》高二16班    2023年4月25日

10.陈海珊《等差数列前n项和》高二16班    2023年4月25日

1.温小允《圆的标准方程》高一14班   2023年3月21日

 圆的标准方程

（一）教学内容

1.建立圆的标准方程；

2.运用坐标法判断点与圆的位置关系；

3.利用待定系数法及结合图形几何性质确定圆的标准方程.

（二）教学目标

1.通过掌握圆的标准方程及其推导过程,发展学生直观想象、数学抽象和数学逻辑推理的学科素养.

2.通过掌握点与圆的位置关系的判定方法，进一步发展学生利用坐标法解决问题的能力，加深对数形结合思想的理解.

3.通过求圆的标准方程并应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养.

（三）教学重点及难点

1.教学重点：圆的标准方程及其推导过程；

2.教学难点：确定圆的标准方程.

（四）教学过程设计

问题1：在直线与方程的学习中，我们运用的研究方法是什么？

在直线与方程的学习中，我们运用的研究方法是坐标法.

追问1：建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”图形，解决了哪些问题？解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题.

追问2：多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.那么类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程呢？

类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.

追问3：类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程呢？

 

 

 

 

 

 

师生活动:教师层层设问，学生积极思考回答问题.

设计意图：通过类比直线方程的建立，以及研究方法与研究思路，使学生明确本单元教学内容，对所学知识有整体性与连贯性.

问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？

追问1：在初中，圆的定义是什么？

圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.

追问2：确定圆需要几个要素？

在平面直角坐标系中，需要圆心坐标和半径.

师生活动:教师层层设问，学生积极思考回答问题.

设计意图：通过回顾圆的定义，使学生明确确定圆的两个基本要素，对在平面直角坐标系中建立圆的标准方程做了铺垫.

问题3：设圆心A的坐标是（a,b），半径为r，如何建立圆的方程？

 

 

 

 

 

追问1：设M（x,y）为圆上任意一点，M满足的条件是什么？

A就是以下点的集合P={M||MA|=r}.根据两点间的距离公式，点M的坐标（x,y）满足的条件可以表示为，两边平方，得：.

追问2：方程一定表示圆的方程吗？我们从哪个角度分析？

若点M（x,y）在A上，点M的坐标就满足方程；反过来，若点M的坐标（x,y）满足方程，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在A上.

这时，我们就把方程称为圆心为A（a,b），半径为r的圆的标准方程.

师生活动：学生以小组交流，讨论，师生共同研究，学生讲解，教师点拨.

设计意图：通过设点M的坐标，利用两点间距离公式，写出M的坐标（x,y）满足的方程，进而写出圆的标准方程，培养学生的数学建模和数学运算的核心素养.

问题4：与直线方程相比，圆的标准方程有什么特点？你能写出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程是什么？

 

 

 

 

圆心在原点，半径为r的圆的标准方程.

师生活动：学生以小组回答.

设计意图：通过与直线方程的对比，使学生对于圆的标准方程形式更加明确，对于后续使用待定系数法确定圆的标准方程做好铺垫.

例1.求圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程，并判断点M₁（5，-7），M₂（-2，-1）是否在这个圆上.

 

 

 

 

 

 

分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.

解：圆心为A（2，-3），半径为5的圆的标准方程是.把点M₁(5，-7)的坐标代入方程的左边，得(5-2)²+(-7+3)²=25，左右两边相等，点M₁坐标满足圆的方程，所以点M₁这个圆上.把点M₂(-2-1)的坐标代人方程的左边，得(一2-2)²+(-1+3)²=20，左右两边不相等，点M₂的坐标不满足圆的方程，所以点M₂不在这个圆上.

探究：点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？

如果点M。（x。，y。）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即；如果点M。（x。，y。）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，即。更一般地，

点M。（x。，y。）在圆外;

点M。（x。，y。）在圆上；

点M。（x。，y。）在圆内.

师生活动：学生独立作答，教师投影.

设计意图：通过从坐标法的角度来思考，使学生从数量关系来回答问题.利用GGB软件验证几何直观.

例2.ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3) C(2，-8)，求ABC的外接圆的标准方程。

分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三 角形有唯一的外接圆.显然已知的三个点不在同一条直线上.只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了.

解:设所求的方程是..

因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程.于是

即

解得.所以ABC的外接圆的标准方程是.

师生活动：学生独立作答，教师板书.

设计意图：通过待定系数法确定圆的标准方程，能独立解决三元二次方程的解答，培养学生数学运算的核心素养.

思考：还可以如何解答呢？

师生活动：学生思考讨论，交流，探讨利用几何关系解决问题.

设计意图：通过两种方法的对比，使学生体会数形结合和待定系数法的内涵.

例3.已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，2)点，且圆心在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程。

分析:设圆心C的坐标为(a，b)，由已知条件可知，|CA|=|CB|，且a-b+1=0.由此可求出圆心坐标和半径.另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法。

 

 

 

解法1:设圆心C的坐标为(a，b).因为圆心C在直线l:x-y+1=0上，所以a-b+1=0.

因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|.根据两点间距离公式，有

,即a-3b-3=0.

由可得a=-3，6=-2.所以圆心C的坐标是(-3，-2).圆的半径r=|AC|=5.

所以，所求圆的标准方程是(x+3)²+(y+2)²=25.

解法 2:设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，-2)，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为.因此，线段AB 的垂直平分线的方程是x-3y-3=0.

由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解.

解得，所以圆心C的坐标是（-3，-2）. 圆的半径r=|AC|=5.所以，所求圆的标准方程是(x+3)²+(y+2)²=25.

（五）目标检测设计

1.两个点M(2，－4)，N(－2,1)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系是(  )

A．点M在圆C外，点N在圆C外

B．点M在圆C内，点N在圆C内

C．点M在圆C外，点N在圆C内

D．点M在圆C内，点N在圆C外

2．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．

3.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为 ________________.

4.已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．

5.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.

答案：

1.D

将点的坐标代入方程左边得2²＋(－4)²－2×2＋4×(－4)－4＝－4＜0，∴M点在圆内，(－2)²＋1²－2×(－2)＋4×1－4＝9＞0，∴N点在圆外．故选D.

2.(x－2)²＋(y－4)²＝20

由2x＋y－8＝0，(x－y＋2＝0，)可得y＝4(x＝2，)，即圆心为(2,4)，从而r＝2，故圆的标准方程为(x－2)²＋(y－4)²＝20.

3. (x＋5)²＋(y＋3)²＝25

圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，

∴该圆的标准方程为(x＋5)²＋(y＋3)²＝25.

4. 因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，所以圆的半径r＝5，所以圆的标准方程是(x＋3)²＋(y＋4)²＝25.

因为|P₁C|＝2<5，所以P₁(－1,0)在圆内；

因为|P₂C|＝5，所以P₂(1，－1)在圆上；

因为|P₃C|＝6>5，所以P₃(3，－4)在圆外.

 

5. 方法一(待定系数法)

设圆的标准方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r²，解得

r＝5.(b＝－3，)∴圆的标准方程是(x－4)²＋(y＋3)²＝25.

方法二(几何法)

由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.

弦的垂直平分线过圆心，

∴由x＋y－1＝0，(2x＋3y＋1＝0，)得y＝－3，(x＝4，)即圆心坐标为(4，－3)，半径为r＝5.

∴圆的标准方程是(x－4)²＋(y＋3)²＝25.

师生活动：教师等待学生独立作答，学生完成目标检测.

设计意图：考察学生对今日所学知识的掌握的掌握情况.采用抢答器让学生积分，促进学生竞争意识.

问题5：通过本节课，你学到了哪些知识？

 

 

 

 

师生活动：教师引导学生积极思考，学生画出思维导图.

设计意图：让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法。

作业布置：

1.必做：课本Ｐ₈₅: 1，2，3，4

2.选作：若P（x_o,y_o）在圆（x-a）²+(y-b)²= r²上时，试求过P点的圆的切线方程。

3.预习课本Ｐ₈₅～Ｐ₈₈

设计意图：对不同学生有不同的要求，让学生在不同水平提高核心素养。

 2.倪郁朝《两条直线平行》高一3班    2023年3月21日.

2.1.2 　两条直线平行的判定

教学目标	A. 理解两条直线平行条件. B. 能根据斜率判定两条直线平行 C 能利用两直线平行的条件解决问题. 1. 数学抽象：两条直线平行的条件 2. 逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行 3. 数学运算：利用两直线平行的条件解决问题 4. 直观想象：直线斜率的几何意义，及平行几何直观
重点难点	1. 教学重点：理解两条直线平行的判断条件 2. 教学难点：会利用斜率判断两条直线平行
授课类型	新授课
教学过程	一、情境导入 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目. 实际上, 过山车的运动包含了许多数学和物理学原理. 你能感受到过山车中的平行和垂直吗? 两条直线的平行用什么来刻画呢?   二、两条直线平行的判定 问题1 当两条直线 l1与 l2平行时，它们的斜率存在且分别记为 k1与 k2，则 k1与k2满足什么关系？ 追问：对于两条不重合的直线 l1,l2,“l1l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件? 对于斜率分别为k1与 k2的两条直线l1与 l2，有 l1l2⇔ k1= k2. 注意点： (1) l1l2⇔ k1= k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与 l2不重合 (2 k1= k2⇒ l1l2或l1与 l2重合 (斜率存在)． (3) l1l2⇒ k1= k2或两条直线的斜率都不存在． 例 1 判断下列各题中的直线l1与 l2是否平行： (1) l1经过点 A(-1，-2)，B(2,1)，l2经过点 M(3,4)，N(-1，-1)； (2) l1的斜率为1，l2经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3) l1经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2经过点 M(-1，3)，N(2,0)； (4) l1经过点 A(-3,2)，B(-3,10)，l2经过点 M(5，-2) ，N(5,5)。 例2 已知 A(1,2 )，B(-1,0)，C (3,4 )三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？ 例3.试确定m 的值 ，使过 A (m,1），B(-1,m)两点的直线与过P (1,2 )，Q(-5,0)两点的直线.平行； 三、课堂小结 1．知识清单： 两直线平行的判定． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为 0 或斜率不存在的 情况．

3.林少微《积商幂的对数》高一2班   2023年2月28日

4.黄山《对数和对数运算的复习》高一8班  2023年2月28日

对数及运算复习导学案

一、学习目标

1、理解对数的概念，了解对数和指数之间的关系。

2、学会指数式与对数式的互相转化。

3、理解并掌握积、商、幂的对数，会应用积、商、幂的对数的运算。

 

二、【要点梳理】

要点一、对数概念

1．对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log_aN=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数，其中a>0 且a¹1， N>0， bÎR．

2．对数具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即；

（2）1的对数为0，即；

（3）底的对数等于1，即．

3．两种特殊的对数

常用对数:以10为底的对数，记作．

自然对数：以e（e是一个无理数，）为底的对数，记作 ．

4．对数式与指数式的关系

要点二、对数的运算法则

已知

（1）

（2）

（3）

（4）换底公式（拓展）

三、典型题型

类型（一）指数与对数之间的相互转化

 

1、将下列指数式写成对数式

（1）；                  （2）；

（2）;                   （4）10^x =1000

2、将下列对数式写成指数式

 

（1）；                 （2）；

 

 

（2）；                 （4）lg 1000=

 

 

 

类型（二）求下列对数的值

 

(1)   log₂2           （2）log_0.21            （3）lg1000  

 

 

（3）log₅              (5)  ln             (6)  lg(lne)

 

类型（三）积、商、幂的对数的化简

 

用log_a,   log_a,   log_a来表示下列各式:

(1) log_a                         (2)log_a

 

 

 

 

类型（四）积、商、幂的对数的运算

 

（1）lg 5 + lg 2                 (2) (lg 5)² + lg 2 x lg 5        

 

 

(3 )  (lg 5)² +lg 2 x lg 5 +lg 8 + 2 lg 5

 

 

（4）(lg 5)² + lg 4 x lg 5 +（lg 2）²

 

 

类型（五）综合题

（1）已知 lg a 和lg b分别是+ -3=0 的两个根，则ab = (    )

A) 10    B) 1   C)  D)100

 

5.陈海珊《等差数列前n项和》高二16班    2023年4月25日

等差数列前n项和 复习课学案

1．等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从____起，每一项与它的前一项的________都等于____________，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的________，用字母________表示，即____________(n≥2，且n∈N*)．

【练习1】下列各组数中，成等差数列的是（　　）

A．…   B．2，2，2，…   C．82，84，88，…  D．2，－2， ， 4，…

2．等差数列的通项公式：

等差数列{}的首项为，公差是d，则其通项公式为____________________．

3．等差中项：

如果a，A，b成___________，则A叫做a和b的___________，且有A=_________.

【练习2】在等差数列{}中，若＝4，＝18，则等于(　　)

  A．11         B．12      C．16        D．17

4．等差数列的简单性质：

(1)等距性：若m＋n＝p＋q，则____________．

(2)通项公式的推广：________d.

(3)当d≠0时，是n的_______函数；当d＝0时，＝_______.

【练习3】在等差数列{}中，a＋a＋a＋a＝48，则a＋a等于(　　)

A．48           B．24       C．12         D．6

5．等差数列的前n项和公式：=____________=______________.

【练习4】在等差数列{}中，若＝120，则＋等于(　　)

A．12              B．24               C．36             D．48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（尝试用等差数列前n项和直接求最值）

 

 

 

你的学习心得：