在一次小学数学教学研讨会上，一位教师提出这样一个话题：分数的分子可以是0吗？分数的分子可以大于分母吗？把一个长方形平均分成5份，其中2份涂色，你看到了什么分数？一位资深教师解释道：根据分数的补充定义，分数的分子可以是0；分数的分子当然可以大于分母，不然怎么有假分数；根据提供的情境，看到的分数是 。参研教师接过话题：现行教材对分数没有补充定义，我们该如何向学生解释呢？分数表示部分与整体的关系，部分能大于整体吗？根据情境，看到的分数除 外，可否为 呢？……一个富有深度的话题在教师对话中仍以疑问结束。

以上问题产生的根源在教师对自然数向内扩张产生分数缺乏认识，对分数概念研究不透，只是依据教材这本“圣典”，解读了分数的份数定义，从而无法解释0分数和分子大于分母的假分数以及根据一个几何模型能用几个分数表示。

至此，我们不禁要追问：分数究竟是什么？有何广度和深度？教师怎样理解分数？怎样进行分数概念教学？本文试图回答这些问题，拟从对分数概念的考究入手，重构课堂教学。

一、厘清概念：分数意义的考究

分数概念在小学教科书有三种：份数定义、商定义、比定义。份数定义显示过程，商定义表示结果，最后用比来加深对分数的理解。

（一）份数定义的考究

在我国各种教材版本中，分数的份数定义分“分数的初步认识”和“分数的意义”两次安排，并建构具体实物模型和几何模型来刻画“部分——整体”的关系，理解分数。

1、份数定义的教材呈现

第一次安排在三年级，主要认识分子是1的分数。教材建构了具体的实物模型和几何模型，理解单位1和平均分，强调平均分的结果是每份同样多（大），其中的一份是它的几分之一。

第二次安排在五年级，单位1由一个物体推广到一个整体；在感性认识的基础上进行抽象与概括，理解分数的意义。并着重讲解分数单位，明确分数是由分数单位组成，不同分母的分数有不同的分数单位。

2、份数定义的理解

1 单位1

份数定义的第一个基本概念是单位1。教材从“具体事物”到“抽象模型”、“一个物体”到“许多物体看成一个整体”层层递进，抽象概括出“一个物体、一个计量单位或许多物体组成的整体，叫做单位1”。“北师版”把一个物体（一个苹果等）、一个几何模型（正方形、圆等）、许多物体组成的一个整体（6只铅笔等）看作单位1。所有教材呈现顺序相同，具体事物大同小异。

2 平均分

份数定义的第二个基本概念是平均分。教材从平均分一个具体物体（一个苹果等），到一个几何模型（正方形、圆等），最后是许多物体组成的一个整体（6只熊猫等）；平均分的对象是单位1，组成单位1各个部分地位相同，外观不一定相同；等分结果是每份同样多（大），否则不能用分数表示；等分的份数受对象的属性限制，不是任何物体都可以任意平均分成若干份，如6只熊猫组成的一个整体只能平均分成2、3、6份。

3 分数的“双重性”

教材用较大的篇幅说明分数可以表示部分与整体的倍比关系，称率的意义，此时分数是一个相对意义的数。如有6只铅笔，拿出 ，这个 是分率。同时，又说明分数可以表示某个量的具体值，称量的意义，此时分数是一个绝对意义的数。如 米、 千克等。

4 分数的本质

分数的本质在于无量刚性。其意义在于把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。教材为了阐释清楚分数的无量刚性，紧紧扣住有“相同的单位”展开，即有相同单位1和相同分数单位。

3、份数定义优点剖析

1 紧密联系平均除

平均除是份数定义的认知基础，属上位概念。平均除、份数定义都是将某个特定对象平均分成若干份，分得的结果是每份同样多（大）。如把4个苹果平均分给2个小朋友，每个小朋友分得苹果多少个？每个小朋友分得这些苹果的几分之几？前者是平均除，后者是依据份数定义得分数。

2 便于理解分数的特性

分数有可分性、双重性、可比性三个特性。平均分的对象包括连续量和离散量；无论连续量还是离散量，平均分的份数都受到具体对象实际情况的限制。如6只熊猫就不能平均分成4份、5份、7份等，原因在于分得的每份失去原来对象的意义，这就清楚地阐释了可分性的本质。

教材分两步阐述分数的双重性：第一步阐述分数是一个相对意义的数，即分率；突出显示了部分与整体的倍比关系。如把6只熊猫组成的一个整体平均分成3份，其中的一份是这个整体的 。第二步阐述分数是某个量的具体值，即量的意义。如一根绳子长4米，把它平均分成5份，每份的长度是 米。

在比较两个分数大小时，教材根据份数定义，确定相同单位1，建构平面图形模型、线段模型对分数作几何解释，形象直观地阐释的分数可比性。

3 便捷构建分数几何模型

给定一个分数，依据份数定义便可以构建出几何模型。如 ，它的意义是把单位1平均分成2份，表示这样的一份；几何模型为：

或                

  

 

4 有利于建构几何模型理解分数四则运算

根据份数定义，在明确几分之几的意义同时，知道谁是单位1，知道几分之几里有几个几分之一，对建构几何模型理解分数四则运算有极为重要价值。如 × ，可以根据分数的份数定义，构建几何模型对运算进行解释：

 

                                              

 

4、逻辑剖析份数定义存在问题

1 不能解释零分数

根据份数定义，分数的分子最小是1，因此不能解释像 这样的分子是0的零分数。

2 不能解释分子大于分母的假分数

份数定义的分数表示的是部分与整体的关系，部分不大于整体，因此，不能解释像 这样的分子大于分母的假分数。单位1平均分成若干份，则分母是不小于2的自然数，因此也不能解释像 这样的分母是1的假分数。

3 不能彰显分数是一种新的数

份数定义一份或几份的表述，与自然数靠得很近，没有显示出分数是新的数。

4 不能用分数有效解读几何模型

根据一个几何模型写分数，往往出现本文开头的一幕，只能写一个且坚信只有一个。如根据下面的图形，写出合适的分数。

 

 

 

 

写出的分数一般是 ，少有 ，不承认还有： 、 、 、 等。原因是受份数定义中单位1是整体的影响，不能准确恰当选择单位1。

（二）商定义的考究

教科书在份数定义后，便列举平均分蛋糕的例子，概括出分数与除法关系，并用字母表示为：a÷b= （b≠0）。没有明确指出这是分数的商定义，而是以分数与除法关系忽悠过去。然而，从逻辑分析商定义，有如下优点。

1、有效解释0分数和假分数

在小学阶段，分数的商定义表述为：分数是自然数q除以自然数p（p≠0）的商；即q÷p= 。从这个定义知道：当q等于0时， 是0分数；当q≥p时， 是假分数；当q能被p整除，特别是p=1时，分数便是自然数。

2、体现分数是一种新的数

在进行自然数除法运算中，如果q能被p（p≠0）整除，那么商是自然数；如果q不能被p（p≠0）整除，那么商就是分数 。如将一个圆平均分成5份，依除法的意义是1÷5，商是一个新的数 。这样，可以将分数与自然数区分开来，体现出分数是一种新的数。

3、商定义能体现分数的本质

商定义的分数不仅体现了分数的特性，还体现了分数的无量刚性。

4、商定义符合数系的扩张

数系扩张的基本原则是：建立的新的数系应该包含原有数系的元素。分数是自然数向内扩张的结果，分数应该包含自然数。从上面的分析可知：商定义的分数完全包含自然数，符合数系扩张。

（三）比定义的考究

教科书将比定义安排在六年级。根据比的意义，概括出分数、除法与比的关系，字母表示为：a÷b=a:b= （b≠0）。没有明确指出分数的比定义，却以分数、除法与比的关系蒙混过去。从逻辑上，分数的比定义理解如下。

1、比定义是份数定义的扩充

份数定义表示的是部分与整体之比；比定义表示的是一部分与另一部分的比，把另一部分看作整体，一部分可以是部分（整体或超过整体）或新的整体；因此，比定义是份数定义的扩充。如把10克盐溶于90克水中，把10克盐看作新的整体，另一部分可以是水，也可以是盐水，这样就可以表示成 或 ；同样还可以表示成 、 、 、 等。

2、能用多个分数表示同一几何模型

根据比定义，一个几何模型能用多个分数做出解释。如本文开头的第三问题，其几何模型为：

 

 

看到的分数有： 、 、 、 、 、 等。

3、“比定义”与“商定义”是两种不同表达方式

比的本质是除法，比定义与商定义相近，值相同，只是两种不同的表达方式。

二、教学重构：从除法运算切入

在全面理解分数概念的基础上，在“用教材教”思想的指导下，重构分数概念教学：整体把握三种定义，吸纳每种定义的优点，从除法运算切入，引入数直线模型，用不同分数解释一个几何模型。

（一）从除法运算切入，导入分数

分数产生的其中一条路径是为了确保自然数除法运算的封闭性；平均除是分数的份数定义的上位概念，二者联系紧密；并且三年级学生在课外常遇到两个自然数不能整除，不知道商如何表示，产生了认知冲突。正是这些原因，在教学分数的初步认识时，以除法运算为切入点，导入分数。新课导入设计为：1 把6个苹果平均分给2个小朋友，每人分得多少个？ 2 把4个苹果平均分给2个小朋友，每人分得多少个？ 3 把1个苹果平均分给2个小朋友，每人分得多少个？ 4 把3个苹果平均分给2个小朋友，每人分得多少个？学生很快列出算式：6÷2、4÷2、1÷2、3÷2，并计算出6÷2=3、4÷2=2，对于1÷2、3÷2等于多少感到迷茫，从内心深处想知道答案。学生提出“老师，1÷2、3÷2等于多少，教一下我们吗！”教师顺势而上，提出：既然同学们急于想知道答案，这节课我们就一起来研究，揭示答案的奥秘，有信心吗？揭示学习主题——分数的初步认识。从第三个问题开始，认识 。这样，将除法运算与分数结合起来，体现分数是除法运算的结果，是与自然数有着区别的一种新数。也为学生认识0分数、分母为1的假分数和分子大于分母的假分数奠定认知基础。

（二）运用数直线模型解释分数

在分数概念教学中，为了阐释清楚分数的含义，让学生建立分数图式和正确的分数概念，引入数直线模型对分数作几何解释。在教学过程中，重组教学内容，将练习中在数直线上填入恰当的分数前置，作为新授课内容，理解分数。

在分数的初步认识中，教材通过折纸、涂图、正方形模型认识 ；在实际教学过程中，通过对这三种的抽象，建构数直线模型解释 ，图形如下：

 

0                                            1

在分数的意义中，教材通过分饼认识 ；教学中可以抽象成数直线模型，解释 ，图形如下：

         

0                      1                   2

数直线模型用线段的长短表示分数的大小，与实物模型和其它几何模型相比，学生更容易理解分数的意义、0分数、假分数以及分数的特性。也为学生理解分数的稠密性、量值相等以及次序关系奠定基础，还为比较分数大小、分数加减法运算以及分数近似值提供几何直观。

（三）用不同分数解释同一个几何模型

在分数的份数定义中，严格强调把一个整体看成单位1，分数就是部分与整体的比；忽视了把整体的部分看成单位1，分数是一部分与另一部分的比。为了弥补这个问题，在教学分数的意义时，引进用不同分数解释同一个几何模型。

根据下列图形，写出分数。

 

 

 

 

学生根据这个图形，写出的分数都是把七个小长方形组成的大长方形看成单位1，分别是 或 ，其中 所占比例大。此时，教师引导学生，除了可以把大长方形看成单位1外，还可以把什么看成单位1？在老师引导下，学生会说：可以把阴影部分看成单位1、把四个没有涂色的小长方形看成单位1。这样，写出的分数有： 、 ， 、 。用不同分数解释同一个几何模型，学生能灵活理解单位1、分数概念；也为学生学习比、单位1的转化奠定基础。

教学是一门留有遗憾的艺术，在追寻留有遗憾艺术的路上，教师深入解读教材，明确教什么是关键。唯有如此，才有可能实现教学思路的嬗变，重构教学。