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向量空间又称为线性空间。空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间

我们知道几何中有很多概念。方向，长度，角度，距离，空间概念为了建立起代数上的推倒就必须建立变量，运算符，运算符性质等。所以有了如下定义。

定义

向量：

1 长度，方向构成的“实体”—具体点就是如同物理学的力 —抽象的话就抽象出向量。不过这个向量与力不同没有作用点，只有方向和长度。

2长度，方向构成的“实体”的合成— 这个在物理上是平行四边形法则—从数学而言这种合成是一种结果叠加。所以在抽象的时候定义成向量加法。

3 有加法就有减法那就就是反向合成。

4  角度和长度。要在代数上表示角度和长度也就是说要在数学上找到一个表达式能够随着两个向量夹角和长度的变化而发生变化 。而  则是满足上述要求的一个表达式。为了能将这个概念加入到其前面的代数系统中所以定义了一种新的运算符数量积 。

5 面积 同上为了表达面积同时表达面积的方向（这个具体点就是表达力矩的大小以及方向）所以定义新的运算符向量积

6 体积 同上为了计算体积所以利用上面两个概念定义了

       这样加上缩放转化数乘基本上只有长度和方向的性质实体别纳入到了代数体系中 

    点

但是空间中的有方向的东西常常是与点相关的例如力所以需要引入点的概念。但是由于点与向量的密切性所以点的纳入代数系统是与向量空间一起纳入。所以需要建立向量空间的概念才有能将点纳入代数。所以先要纳入向量空间。

空间

前面将向量纳入代数系统。但是几何种空间的概念还没有纳入代数系统。将空间纳入代数系统是分成了几个层次。向量空间（只有向量和向量的部分运算），仿射空间（加入点） 欧氏空间（加入向量的全部运算）

 向量空间------所谓向量空间就是对向量的加减术数乘封闭的空间。 所谓封闭就是向量在只是使用上述三种运算后其结果还在空间内。说白点就向量空间是一组向量的集合其中任意一组向量与加减数乘三种运算任意组合得到的结果向量依然在集合内。（可以看看平面的线段无论怎么伸缩改变方向和几个线段做平行四边形合成其结果依然还在平面内从某种意义上说这个平面就是一个向量空间）

  有上的定义发现可以找到一组数量最大的向量组。其彼此不能线形表示。但可以这组向量可以通过唯一的线形组合表示其他空间的任意一个向量。这个组为向量空间的基底。

 仿射空间--- 仿射空间是将点加入到向量空间后的结果。向量空间加入点后。其性质没有变化。在向量的基础上建立点的减法运算。即  这样将点与向量建立起了联系即任意一个向量可能对应任意多个点对。但一个点对之对应一个向量并且一点和一个向量之和唯一确定一个点。在这个基础上将向量加法向量减法和数乘与点建立起了对应关系。换句话说。在仿射空间里点可以表示向量空间。

 坐标系— 因为在仿射空间中加入了点。所以就可以引入坐标系的概念。即仿射空间中任意一点加上向量空间中任意一组基底组成了一个坐标系。由于上述的性质知仿射空间中的任意两点唯一确定一个向量。如果其中一点为坐标系原点 ，则可以说仿射空间除原点外的任意一点与原点决定了唯一的一个向量。又向量空间内任意向量唯一被基底线形表示。所以可知仿射空间在确定确定的坐标系下有唯一的坐标。所以点P可以表示为 所以点P的坐标为 （也就是常说的齐次坐标）

但是由于任意一点加上向量空间中任意一组基底组成了一个坐标系所以同一个仿射空间下不同坐标系下点的坐标是不同。但是同一坐标系下的坐标又是唯一的。所以不同的坐标系之间存在着转换。这也是图形学常说坐标转换。

欧氏空间

欧氏空间比前两个空间的不同在于其将向量的运算全都用上了。加了长度。角度。

   三个空间依次向下兼容。即欧氏空间有仿射空间所有的性质。仿射空间有向量空间的所有的性质。

   变换

   这个转换不是坐标系的转换是空间的与空间的的变换。

   线形变换

即变换满足后面两个  以及  条件。即两向量的和变换后等于分别对两个向量变换后的向量的和。（可以理解为平面旋转后对应的向量之和的旋转角度与分量是相同的）

仿射变换

即点满足

可以证明仿射变换使得仿射空间中的向量空间满足线形变换