植树问题

教学目标：

1、通过猜测，实验、画图、验证等数学探究活动，使学生初步体会两端都栽的植树问题的规律，构建数学模型，解决实际生活中的有关问题。

2、培养学生通过“化繁为简”从简单问题中，探索规律找出解决问题的思考方法和能力，初步培养学生的建模思想和数形结合思想。渗透“一一对应”数学思想。

教学重点：发现并理解两端都栽的植树问题中间隔数与棵树的规律。

教学难点：应用“植树问题”的解题思想解决生活中的实际问题。

教学准备：课件、直尺、学习单、练习单。

教学过程：

（一）创设情境，引入课题

师：同学们，你们知道3月12日，是什么节日吗？植树有什么好处？那假如你和爸爸妈妈去植树，从数学的角度来分析，需要考虑哪些因素？

预设：1、一共要栽多少棵树？2、每隔几米栽一棵？3、在什么地方植树？（地点、距离）板书问题。

师：同学们说的非常好，今天我们就带着这些思考一起进入数学广角——植树问题的学习。（板书课题：数学广角——植树问题）

（二）充分经历、探究新知

1、大胆猜测，引发冲突

（1）读一读，说一说

课件出示例1：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？指明学生读题。一起读题。

师：从题中你了解到了哪些信息？100米是什么？（板书：路长 100米）

师： “每隔5米栽一棵”是什么意思？

预设：就是指每两棵树之间的距离都是5米。

师：我们把两棵树中间的一段叫做一个间隔，两棵树之间间隔长度是5米，这个5米，我们也可以叫做“间距”（板书：间距 5m）这道题要求的间距就是5米。（课件演示）

师：“两端要栽”是什么意思？（板书：两端都栽）“一边”是什么意思？

课件演示：两端指路得起点和终点之处。

师：需要我们解决的问题是？也就是求什么？（板书：提出问题，棵树）

（2）想一想、算一算

师：题意大家都明白了吗？那你能尝试的算一算吗？把你的想法写在学习单第一个格子想一想、算一算中。

（3）展示几位同学不同算法。

师随机找几种典型不同做法，展示在黑板上，请三位同学说想法。

100÷5=20（棵）100÷5+1=21（棵）100÷5+2=22（棵）

师：同学们，这是他们三位同学的想法，掌声鼓励一下。不管他们的想法是对是错，敢于表达自己的想法，老师为他们的勇气点赞。大家来看这三种想法，下面同学也是这样想的，还有不同的想法吗？没有，请大家仔细观察，这三种解法中，哪些地方是相同的呢？

师：你们都用100除以5，为什么用除法计算？那算出的是什么？（预设：间隔数）同意吗？（板书：间隔数）。

师：用总长除以间距，就可以求出间隔的个数，对不对？那他们的争议在哪里？就是不相同的地方在哪里？（预设：棵树怎么求？间隔数到底要加几？）那也就是说，他们很困惑的是间隔数与棵树之间到底有什么样的关系？到底是加1，还是不加，还是加2呢？所以，刘老师认为，接下来，我们要好好来研究一下，到底棵树和间隔数之间有怎样的关系呢？（板书：栽树的棵树？间隔数）

2、借助操作、探究规律

（1）初步体验、化繁为简

师：我们来想一想，用什么方法来研究他们的关系啊？（预设：画一条线段图）

师：那老师来画一条100米长的小路，好不好？为什么？（预设：不好，100米太长了）

师：看来这个数据有些大，画图时比较麻烦，那我们应该把这个数据怎么样？（预设：缩小）

师：真棒，像这样比较复杂的问题，我们可以从简单一些的情况入手进行研究，这就是数学上的一种“化繁为简”的思考方法。

师：那你们觉得用哪个数据便于研究呢？好，下面我们就用画线段的方法来研究一下。（课件出示）我们用一条线段表示20米的小路，就从20米这个数据开始研究，如果每隔5米栽一棵，需要栽几棵呢？请同学们在学习单第二部分“画一画”画图研究。（数形结合）

学生独立画图，师板书“操作探究”，黑板上表格：路长（米），间距（米），间隔数（个），棵树（棵）

3、操作演示、发现规律

师：请一位同学说说你的想法。

课件演示。你们把20米小路先分成了4段，为什么是4段？继续看看，可以栽几棵树呢？可以栽5棵树，同意吗？谁愿意把刚才的研究再说一次？一条20米的小路，有几个间隔，可以栽几棵树呢？

师：好的，那我们看着屏幕，一起来数一数，先数间隔数，再数棵树。

师：20米小路，每隔5米栽一棵，有4个间隔，可以栽5棵树。（板书在表格内：20，5，4，5）

师：但是我们数学研究啊，仅凭着一个例子肯定是不够的，你们还想研究多长的小路啊？好，按照你的想法，你自己再选一条路，在学习单第三个格子里，再来研究一下，看看这段路有几个间隔，可以栽几棵树呢？开始。

师：好，谁来汇报一下，你的研究结果。你研究的是多少米？有几个间隔？可以栽几棵树？（根据学生板书）

师：同学们，像这样的数据，我们能研究完吗？那老师用一个省略号。老师现在把你们研究的成果放在这个表格中，（加表格框子），请同学们注意看间隔数和棵树，一起读一读，你发现间隔数和棵树有什么关系？每位同学都看一下自己研究出的结论？有没有不是这样的？（渗透数学研究不完全归纳法）

师：那么，要栽的棵树就等于间隔数加1（板书：把“？”改为“=”，“+1”）这个了不起的发现是你们通过自己的研究，总结出来的，请大声在说一遍，棵树等于…(板书：发现规律)

师：棵树等于间隔数加1，那间隔数等于什么呢？再说一遍。好，现在请所有的同学请把目光聚焦到这里来。根据你们的发现，你再来看三位同学的作品，你现在觉得哪位是正确的呢？1号？2号？3号？（去掉两个错误的）谁愿意说说他是怎么做的？先求什么？再求什么？师：用总长除以间距求出间隔数，在加1就求出了棵树。（板书：总长÷间距+1=间隔数）这个问题解决了吗？我们一起口答一下。

（3）回顾反思，理解规律

师：同学们，刚才我们通过提出问题，操作探究，发现规律，解决了这个问题，现在我们来回顾反思，请同学们再深入思考一下，为什么两端都栽树，棵树总比间隔数多1呢？

师：课件演示：我们用一条线段表示一条小路，在路起点栽一棵，然后，量出5米，再栽一棵，再量出5米，每一棵树，都对应一个间隔，最后呢？还得在终点栽上一棵，那你们说，多出的那棵树在哪里？

师：（课件演示）也有的同学这样理解，每隔5米，栽上一棵，每隔5米，栽上一棵，一直栽到终点，在起点0米的时候，也要栽了一棵，这棵就是多出来的。不管怎么理解，总之，如果是两端都栽这种情况，棵树就比间隔数多1。

师：请同学们再看，在线段图上，这个间隔是什么样的？（预设：是一条线段）对，是一段一段的。那我们栽树，栽在那里？栽在这个端上吗？对，是栽在点上，所以，点数总比段数多1 。

三、回归生活，实际应用

师：同学们，植树工人把树栽在点上，那在生活中，还有什么人像植树工人一样把什么也建在点上？

（举例说明：安装路灯，电线杆，设立车站，插红旗等等）

师：同学们想的太棒了，看来植树问题研究的不只是植树，它是研究的有关建在点上的一系列的问题。我们都可以用植树问题这样的模型来解决它，对不对？

师：好，那么我们来用今天学到的知识解决一些问题吧。（板书：拓展应用）

1、基本题型

5路公共汽车行驶路线全长12km，相邻两站之间的距离都是1km，一共设有多少个车站？

2、变式练习

学校在一堵墙上插彩旗，每隔3米插一面，一共插了10面，从第一面到最后一面距离有多远？

这道题和刚才的题有什么区别？你是怎么计算的？

3、提高练习

广场上的大钟5时敲5下，8秒钟敲完。12时敲响12下，敲完需要多长时间？

四、全课总结

师：同学们，这节课上完了，谈谈你的收获吧！