植树问题的磨课历程

教材分析

《植树问题》是四年级下册“数学广角”的内容。植树问题可以分为不封闭植树问题和封闭植树问题两类情况，而不封闭的植树问题又可以看成是一条线段上的两端都种、只种一端和两端不种三种情况。由于栽树的路线和植树的要求不同，因此决定了分成的段数(也就是间隔数)和植树的棵树之间的关系也是不同的。具体来说棵树与段数之间就存在着“棵树=段数+1”、“棵树=段数”、“棵树=段数-1”这三种不同的植树方案。本节课将着重探讨在一条不封闭直线上植树时棵树与间隔数之间的关系。原例题是：同学们在一条长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要载），一共需要多少棵树苗？

思考与困惑

这一内容之所以安排在“数学广角”，应该是区别于一般的解决问题的，它训练的是学生的思维，渗透的是数学思想，如化归、对应等思想，旨再提高学生思维的深度与广度。

在分析了大量相关资料，我们发现许多教学设计对于这三种情况的教学都是平均用力，在引导学生得出数量关系后，安排了各种练习进行巩固。令我们感到困惑的是：植树问题原本是“奥数”的内容，这三种情况的教学若是平均用力，学生能够接受吗？像这样引导学生分析数量关系，并运用数量关系解决问题，与一般的解决问题区别何在？既然要凸显数学思想，那么在解决问题过程种该如何使学生深刻体会？

教学目标的确定

带着这些思考，我们制定了以下教学目标

1、让学生经历实际问题抽象出数学模型的过程，理解和掌握在一条不封闭直线上植树时棵数与间隔数之间的关系。

2、在解决问题的过程中，向学生渗透数形结合的思想和化归思想。

3、感受数学与生活的联系，体验转化的数学思想方法在解决问题中的应用。

教学方式的选择

经过研究，我们确定了以“发现规律”为中心，以“谈话引入，明确课题--，引导探究，发现规律—解决生活中问题”为主要环节，以板书+课件+学生探究的方式，引导学生进行研究。

在实施过程中着重从以下几方面展开：

1.如何让学生经历复杂问题简单化的过程？这是本节课的主线，贯穿于整节课的始末。可以引导学生画线段图进行分析，正确把握数与形的关系，帮助学生理解。

2.如何引导学生得出不同情况下间隔数与棵树之间的关系？即如何抽象出数量关系式？这里可以通过学生自主探究、合作交流等方式进行。

3.如何让学生理解在两端都种情况下，间隔数+1=棵树？既引导学生体会一一对应的思想。

4．如何处理好预设与生成之间的关系？

磨课过程

第一次试教

一、谈话引入，明确课题

同学们，你们知道3月12日是什么的日子？（植树节）你有参加植树活动吗？植树不仅能美化环境，净化空气，而且植树中还有很多数学问题。今天这节课，我们就一起来研究“植树问题”（板书课题：植树问题）

二、引导探究，发现规律

1、创设情境，提出问题

（1）出示：“为了美化环境，我们学校的操场上有一段10米长的小路，学校打算在小路的一侧种树。 请按照每隔2米种一棵的要求，设计一份植树方案，并说明理由。（可用线段图表示）

（2）理解题意。

①读题，从题中你了解了哪些数学信息？

②理解“间隔”的意思。

师：每隔2米种一棵是什么意思？

生：就是两棵树之间的“距离”。

师：两棵树之间的一段距离，我们也可以看作一个间隔？找一找身边哪里有间隔？

③理解三种植树情况。

2、主动探索，发现规律

（1）计算你的设计需要多少棵树苗？利用线段图把它表示出来？并将指数方案写下来。

（2）

两端都种            两端都不种              只种一端

棵树	间隔数
	3
256
1000

棵树	间隔数
	2
256
1000

棵树	间隔数
	6
256
1000

（3）学生反馈

段数=总距离÷棵距      求棵树怎么求？

方法一：10/2=5（棵）    方法二：10/2=5（棵）  5+1=6（棵）

方法三：10/2=5（棵）   5-1=4（棵）

（4）组织讨论：你发现什么规律？

两端都种      棵树=间隔数+1

两端都不种    棵树=间隔数-1

只种一端      棵树=间隔数

3、应用规律，解决问题

（1）绿化队要在80米的小路一旁种树，相邻两棵树之间的距离是4米，一共要种几棵树？

（2）同学们在一条全长360米的马路两侧种树，每隔10米 种一棵，如果马路的两端都不种，共需要多少棵树？

小结：通过同学们的研究，发现了植树中的一些规律。在我们日常生活中，出来植树，你觉得还有哪些地方可以用上这个规律呢？

三、解决生活中问题

1、学生们排队跑步，队伍长4米，每隔两人之间的距离是1米，这队学生有多少人？

1）4/1+1=5（人）     2）4/1-1=3（人）     3）  4/1=4（人）  

2、一根钢管长10米，工人叔叔要按每段2米长的标准来锯开它，需要锯几次才能完成任务？

1）10/2+1=6（次）     2）10/2-1=4（次）     3）10/2=5（次）  

3、11路电车行驶的路线全长10千米，沿圆形路线行驶，相邻两站的距离是1千米，马路两边一共有几个车站？

1）2*（10/1+1）=22（个）     2）2*（10/1）=20（个）    

 3）10/1-1=9（个）

四、总结

 

反思与改进

一．数学思想体现得不充分。复杂问题简单化学生体会得并不深刻，主要问题是，在探究环节中探究得不充分，而且在后来的教学中也没有再一次体现，而在巩固练习时又过分强调数量关系，因此本节课更多的是体现一般的解决问题，而非数学思想上的升华。本节课更应该突出的是运用数学思想解决问题。

二．设计环节上还存在不足，需要进行改一改，板书的设计不合理。这一节课的信息量比较大，需要板书有条理，地展示整个探究过程，呈现探究过程。这样才能帮助学生思考和回顾。

三．数学概念不清晰。学生初次接触植树问题，概念较多较复杂，尤其是间距、间隔数等理解起来较困难，就给学生解决问题带来了困难。应适当解释，在解决问过过程中不断促进其理解。

第二次试教

在第一次试教之后，第二次试教在以下几个环节作为修改：

一、谈话引入，明确课题

同学们，你们知道3月12日是什么的日子？（植树节）你有参加植树活动吗？植树不仅能美化环境，净化空气，而且植树中还有很多数学问题。今天这节课，我们就一起来研究“植树问题”（板书课题：植树问题）

二、引导探究，发现规律

1、创设情境，提出问题

（1）出示：“为了美化环境，我们学校的操场上有一段10米长的小路，学校打算在小路的一侧种树。 请按照每隔2米种一棵的要求，设计一份植树方案，并说明理由。（可用线段图表示）

（2）理解题意。

①读题，从题中你了解了哪些数学信息？

②理解“间隔”的意思。

师：每隔2米种一棵是什么意思？

生：就是两棵树之间的“距离”。 （就是两棵树之间的距离-棵距）

教师板书：棵距

那10米长又是什么意思？（板书：总距离）

师：两棵树之间的一段距离，我们也可以看作一个间隔？找一找身边哪里有间隔？

手指之间，还有出示课件进行欣赏。

2、主动探索，发现规律

（1）计算你的设计需要多少棵树苗？利用线段图把它表示出来？并将植树方案写下来。（出示学生的线段图进行反馈）
（2）学生反馈

段数=总距离÷棵距      求棵树怎么求？

方法一：10/2=5（棵）    方法二：10/2=5（棵）  5+1=6（棵）

方法三：10/2=5（棵）   5-1=4（棵）

（3）组织讨论：你发现什么规律？

两端都种      棵树=间隔数+1

两端都不种    棵树=间隔数-1

只种一端      棵树=间隔数

 

 

（4）加深间隔数和棵树之间的关系

两端都种            两端都不种         只种一端

棵树	间隔数
	3
256
1000

棵树	间隔数
	2
256
1000

棵树	间隔数
	6
256
1000

 

 

 

 

 

3、应用规律，解决问题

（1）绿化队要在80米的小路一旁种树，相邻两棵树之间的距离是4米，一共要种几棵树？

（让学生说出他们的理由，你是怎么想的？）

（2）同学们在一条全长360米的马路两侧种树，每隔10米 种一棵，如果马路的两端都不种，共需要多少棵树？

小结：通过同学们的研究，发现了植树中的一些规律。在我们日常生活中，出来植树，你觉得还有哪些地方可以用上这个规律呢？

三、解决生活中问题

1、学生们排队跑步，队伍长4米，每隔两人之间的距离是1米，这队学生有多少人？

1）4/1+1=5（人）     2）4/1-1=3（人）     3）  4/1=4（人）  

2、一根钢管长10米，工人叔叔要按每段2米长的标准来锯开它，需要锯几次才能完成任务？

1）10/2+1=6（次）     2）10/2-1=4（次）     3）10/2=5（次）  

3、11路电车行驶的路线全长10千米，沿圆形路线行驶，相邻两站的距离是1千米，马路两边一共有几个车站？

1）2*（10/1+1）=22（个）     2）2*（10/1）=20（个）    

 3）10/1-1=9（个）

四、总结

反思与改进

这一次试教，比原先有了大的突破，学生体验得比较深刻，但是还是存在着许多问题。虽然表面上看似是学生在自主探究，但是探究的空间并不大，尤其是“主动探索，发现规律”环节，学生一直被教师牵着走，缺少了主动性，也使探究失去了些许灵动和生气。有点在套用规律，做练习没有深入，没有真正让学生体会到探究的实际意义，可以适当放手，在集体研究了总长是10米的三种情况之后，给学生充分的主动权，想研究多少米就研究多少米，在反馈时选择有典型性的进行反馈。

其次，由于新教材淡化了线段图的辅助教学，因此一开始就让学生画图，学生不知从何着手，可适当指导，使学生意识到画线段图可以帮助帮助思考，也体现了复杂问题简单化的思想。

最后，由于增加了一个探究环节，那么在时间上比较紧张，需要教师在保证质量的前提下，课堂更加紧凑。

除此之外还有许多细节需要注意，如课堂语言的简练，学生读题审题能力的培养，要每时每刻关注学生的学习等。

由此有了第三次试教。

第三次试教

这一次试教主要对“主动探索，发现规律”这一环节作了大的改动，在探究了总长是10米的三种不同情况之后，问：你还想研究多少米？你想研究多长就把作业纸上的三条线段都当成是多少米，分别研究这三种情况。重点反馈两个学生的作业，结合学生回答板书。后引导学生寻找规律，分析数量关系。最后验证：你们刚才研究的是不是也符合这些结论，从而解决了课前的问题。

这一次试教，时间依然非常紧张，讨论后，第二次所谓的发现规律的探究其实是重复探究，学生通过第一次探究，已经清楚地知道了三种情况下的间隔数与棵树的关系，也就是说数学模型既然已经建立，那么就不应该画蛇添足地再一次验证规律。   

 其二，在课件演示间隔数与棵树一一对应关系之后，还应该让学生闭上眼睛回忆整个植树过程，把植树问题的方法和思想植入学生的脑中。

    于是就有了最后一次在“解决问题”的公开课。

片段一:

出示学生的两种不同算式（没有出现第三种算式）：

1000÷5=200(棵)    1000÷5+1=201（棵）  

师：请解释一下你的想法。

生解释得不清楚，其他学生也听不明白。

师：能不能想个办法，能够使大家明白你的想法。

生：可以画线段图！

师：画线段图确实是个好办法，可是这幅线段图画出来会是怎样的呢？

请一位学生在黑板上画，学生画着画着就停下来了。

师：为什么不画了？

生：这条线段图画起来太长了，很麻烦。

其他学生也表示赞同。

师：也就是说这个问题画线段图也是比较复杂的，那怎么办呢？

生：可以先取10米画一画。

师：你的意思是，既然1000米研究起来比较复杂，我们可以先取一段比较短的进行研究，也就是把复杂的问题转化成了简单的问题，这个想法很好。

片段二：

师引导学生研究了总长20米的三种情况，并分别进行板书；

师：你想研究多少米，就把作业纸上的三条线段都当成师多少米，画一画线段图，研究一下棵树和间隔数。

                                                            

20米                     20米                         20米

        

 

                                                       

        （  ）米                    （  ）米                 （  ）米

生动手实践。

反馈总长是30米和40米的，并板书。然后引导学生总结规律，建立数模。

师：你们刚才研究的是多少米？是否也能得到这些结论？

生验证。

师：课前的问题是否就能解决了？这两个算式分别师什么情况？还有一个算式该怎么列？这三个算式里都有1000÷5，表示什么？看来解决这个问题还需要考虑三种不同的情况。

片段三：

师：接下来我们重点来解决两端都种情况下的植树问题。总长变化，间距不变，可以得到：总长÷间距=间隔数，间隔数+1=棵树。那么间距在变是否也能验证这个结论呢？

生研究总长是20米，间距是4米（原先研究的间距5米），两端都种的情况，列算式并画线段图。（形成表格）

总长（米）	间隔 距离	两端都种
		间隔数	棵树
20	5	20÷5=4（个）	4+1=5（棵）
	4

师：为什么在两端都种的情况下，间隔数总比棵树多1？（课件演示）

师：请闭上眼睛，在脑子里画一条表示总长20米的线段，每隔5米种一棵数，可以把路分成几段？然后开始种树：第一棵树对应第一个间隔，第二棵树对应第二个间隔……第五棵树没用对应的间隔。

生想象。

片段四：

园林工人在道路一旁植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵树。从第一棵到最后一棵的距离有多远？

学生独立解决后出现了多种算法，还有许多学生感到一筹莫展。

师：看来这个问题比较复杂，我们可以用什么方法帮助理解？

生：画线段图！

师：是啊，可是这里有36棵树，画起来还是比较复杂的。

生1：那就简单点，先研究10棵树。

生2：可以研究1棵树。

师：你认为研究1棵树合适吗？能说明问题吗？

生：可以从2棵树开始研究。

课件演示2棵树、3棵树、4棵树时的线段图，大部分学生豁然开朗。

这一次公开课比较成功，学生理解得较为深刻，课堂环节衔接自然，细节处理得比较合理。

思考与感悟

一. 解决问题与数学思想相辅相成

    一开始拿到这个课时，我们把它想象成一般的解决问题，忽视了其中的数学思想，后来意识到植树问题的解决依靠于数学思想，解决问题与数学思想两者相辅相成。有了数学思想，学生的思维才会更深刻；有了数学思想，解决问题的模型才能得以建立。数学思想是灵魂，解决问题是目的。

二．充分的预设与精彩生成缺一不可

前两次试教时，我往往只关注于自己的教学设计，对于学生的学却有所忽视，因此课堂上显得比较生硬，气氛比较沉闷，对于学生提出的不同见解也没用有效处理。我们教学的目的就是为了使每个学生都能有效参与。因此，在课前我们要做好充分的预设，才能在课上自如应对；课中随时关注学生的学习状况，积极应对学生的生成，捕捉一切可利用资源，适时引导，以生为本，使课堂充满灵动和活泼。

三．正确处理“收”与“放”的关系

有收有放，张弛有度，才是真正大气的课堂，才真正体现一位老师的教学能力。在前几次试教因为担心自己驾驭不了课堂，因此采用了收的方法，虽然效果不错，但是学生学得很被动。而在后来的教学中放手让学生去研究，只要调控得当，不仅没有花费过多时间，而且也使学生学得比较主动，问题解决得更加深刻圆满。因此该放手时就放手，相信我们的学生有能力做好。

一个多月的磨课历程，使我们受益匪浅，真正体会到好课磨砺出成效。