“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1）

鄠邑区职教中心 付思谦

【教学目标】

    【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

    【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

    【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用。它既是已学知识的延续和深化，又是后继知识学习的理论基础。函数的单调性起着承前启后的作用。

【学情分析】

从学生的知识上看，学生已有知识能粗略的得到函数增减性的定义，所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。

从学生现有的学习能力看，学生具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

【教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法：

启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探； 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

【教学手段】计算机辅助教学．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题（利用电脑展示）

1. 如图为某市一天内的气温变化图：

     （1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．

     （2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？

问题：观察图形，能得到什么信息？

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数 的图象，并且观察自变量

变化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画，然后电脑显示下图）

    

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

如果函数 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数 在该区间上为增函数；如果函数 在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数 在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？（电脑显示，学生分组讨论）

    通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

 

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．

问题2：如何从解析式的角度说明 在 为增函数？

任取 且 ,因为 ,即 ，所以 在为增函数．

注意这里的“都有”是对应于“任意”的。

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

 (1)板书定义

设函数 的定义域为A，区间M A，如果取区间M中的任意两个值 ,当改变量 时，都有 ，那么就称函数 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量 时，都有 ，那么就称函数 在区间M上是减函数，如图（2）

 

(2)巩固概念（以下问题老师提问后，学生适当讨论后回答）

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x₁,x₂,若 即 ，则函数y=f(x)是增函数，若 即 ，则函数y=f(x)为减函数。

事实上 的符号决定了函数f(x)的单调性，我们不仅要能从图象上直观判断函数的单调性，更应该要从单调性的本质上来理解这个概念。能用这种表达形式来描述函数单调性，说明大家对单调性概念的理解还是比较非常深刻的。

【设计意图】这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念进行了剖析，带领学生深入定义的表达形式，探索概念的本质。实现学生将概念从具体的图形表达形式化到一般的数学表达形式，实现了从具体到抽象的转化。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了第四次归纳——由数学符号叙述抽象到了形式化

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

三、掌握证法，适当延展

例 证明函数 在（0，+）是减函数．

1．分析解决问题    针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 且 ,              设元

                                   求差

                                       变形

 

                                 断号

 

∴函数函数 在（0，+）是减函数．                      定论

思考：如何证明 在（-上的单调性。

2．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形（因式分解、配方、不等式等）断号、定论．

练习：证明函数 在 上是增函数．

问题：要证明函数 在区间 上是增函数，除了用定义来证，可以让学生尝试用这种等价形式---对任意的 ，且 有 ，证明函数 在 上是增函数．

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

(2) 证明方法和步骤：求函数的定义域，设元、作差、变形、断号、定论．

(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．

2．作业

书面作业：课本第39页练习2、3题．

课后探究：

(1) 函数值的改变量与自变量的改变量之比 叫做函数 从 到 之间的平均变化率。研究一个函数在某个区间上是增函数还是减函数时，能否根据函数的平均变化率，即比值 的符号来判断函数y=f(x)在某个区间上是增函数还是减函数？比值 的大小与函数值增大的快慢有什么关系？

(2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．