一元二次不等式的解法及应用

复习目标：

（1）使学生熟练解一元二次不等式并能初步运用一元二次不等式解决集合问题、定义域问题、函数的最值问题等

（2）通过学生自主复习，讲连结合，提高学生的解题能力。

（3）培养学生联系的观点及转化意识。

复习重点：熟练解一元二次不等式；

复习难点：运用一元二次不等式解决集合、函数的最值等问题。

 

应用形式介绍

基础训练达标

梳理知识提炼要点

典型例题讲解

 

 

                                                

 

 

归纳要点方法

　教学过程：

 

　一、梳理知识提炼要点

二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体。

通过函数把方程与不等式联系起来，我们可以通过对方程的研究来解一元二次不等式。

1、              ax²+bx+c=0 (a>0)有两个根x₁> x₂ 

则 （1）a x²+bx+c<0的解为x₂ < < x₁

　　 　　（2）a x²+bx+c>0的解为x> x₁或x< x₂　　

　  2、a x²+bx+c=0( >0)若无根即△<0

　    则 a x²+bx+c>0的解为R

　　　 　a x²+bx+c<0的解为φ

<0同理可得以上规律（让学生完成）

注意:（1）解一元二次不等式实质上是通过解一元二次方程来确定解,方程的根为解集的端点通过式子＞(≥)0还是＜(≤)0来确定解的范围 。

 （2） <0时，首先转化为a＞0，在依据a＞0的解题规律完成。

二、基础训练达标

1、(1)-3x²+4x+4>0的解集________________．

（2） ≥0解集______________．

（3）(2x+1)(x-3)>3(x²+2)的解集__________­­­ ．

2、不等式(x²-4x-5)(x²+8)<0的解集是（    ）

    A． {x|-1<x<5}           B． {x|x<-1或x>5}

    C． {x|0<x<5}           D． {x|-1<x<0}

3、不等式x²-2mx-15m²<0，（m<0）的解是（    ）

     A． –3m<x<5m                    B． 5m<x<-3m

C． –3m<x<5m或5m<x<-3m        D． x<-3m或x>5m

思考：去掉m<0呢？

归纳：含参数一元二次不等式解法：关键讨论两根大小。

  三、应用形式介绍：

1：解一元二次不等式 2：求参数范围问题  3：

  3：最值问题

  四、典型例题讲解

类型一：解一元二次不等式题型

例1. 求不等式  (x∈R)的解集。

关键点：先求方程的根，再求解。

解法展示：（先由学生板）演

∵　 方程的两根为 x₁＝－3，x₂＝5

　 ∴　 不等式的解集为{x│x≥5或 ≤－3 }。

变式1：求不等式 －2│x│－15≥0(x∈R)的解集。

分析：注意与例1的区别，分类讨论或利用函数的性质求解。

解法1：（对x讨论）

当x＞0时，原不等式可化为 －2x－15≥0由例1 可知解为x≥5或x≤－3

∵x＞0　　　 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 }

当x ≤0时，原不等式可化为 ＋2x－15≥0

则不等式的解为x≥3或x≤－5

∵x≤0　　　 ∴ 不等式的解集为{x│x≤－5 }

由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。

解法2：（利用函数奇偶性）

当x＞0时，原不等式可化为 －2x－15≥0的解为x≥5或x≤－3∵x＞0　

　 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 }

∵函数f(x)= －2│x│－15为偶函数∴f(x)≥0的解为{x│x≥5或x≤－5 }。

小结：利用一元二次不等式的解法去解带绝对式的一元二次不等式。

例2已知一元二次不等式ax²＋bx+2>0 的解集为{x │ }

求 a－b 的值

关键点：一元二次不等式是通过一元二次方程的根来确定，于是由根与系数关系求方程的系数。

解：一元二次不等式是通过一元二次方程的根来确定

则可以理解为方程ax²＋bx+2＝0的根 又∵解在两根之间　

∴a＜0∴   ∴a＝－12　 　∴b=-2则a－b＝－14

练习 求函数f(x)= 的定义域。

2：求参数范围问题

例3已知集合A={x│x²－ax≤x－a}，B={x│1≤x≤3}，若A B=A求实数a取值范围

分析：这实质上与（1）相类似。

解：A B=A，则A B 而A :若a 1　 则1 x a

　　 1 a 3,若a＜1 则 a≤x≤1

　　　 ∵ 　A B ∴a取值范围是1 a 3

小结：这是一类逆反思路题，只要按反方向去想，然后便可求解。

变式1：函数f(x)= 的定义域为R（K＞0）求K的取值范围

　 分析：这是一元二次不等式中含字母类型题，同例3便可求解。　　　　　　　　　　　　　　　　

解：∵函数f(x)= 的定义域为R且K＞0

　　∴只要△≤0 即(6k)²－4k(k+8)=36k²－32≤0

　 ∴ 0≤k≤1　 又K＞0 ∴ 0<k≤1

  去掉K＞0呢？

易错点估计：学生易丢掉K=0的情况。

题型4：最值问题

例4 求函数y= x²－2x＋1的最小值

关键点：利用一元二次函数的图象求最值。

解：∵y＝ ＝0 ∴y_min＝0

变式1：求函数y= x²－2x＋1 上的最值

分析：这是定义域改变的一元二次函数的最值问题。

解:∵函数y= x²－2x＋1的对称轴为 ＝1 又

∴y_min＝f(－1)=1+2+1=4 ∴y_max=f(1)=0

变式2：求函数y=ax²－2x＋1（ ＞0） 的最值

分析：这是对称轴改变的一元二次函数的最值问题。　　　　

解:∵a＞0 ∴函数y= ax²－2x＋1的对称轴为 ＝ 且 ∴ 时 即0≤a≤1　 y_max =f(1)=a+1　 y_min＝f(－1)=a－1∴ 时 即a＞1　

　 =f(－1)=a+3　 ＝

规律：利用一元二次函数的图象求最值，关键讨论定义域与对称轴的位置关系，借助图象求最值。

五、归纳要点方法

1.一元二次不等式基本解法。

　　　2. 一元二次不等式解决集合、定义域、函数的最值的方法

六、课后作业：

1已知A=｛x│－1≤x≤1｝ B=｛x│ax²+(a+1)x+a≤0｝若A∩B=B求a的取值范围

2函数的f(x)= 定义域为R求a的取什范围

3求函数y=x²+ax－3 ， x∈［0,2］的最值

七、课后反思：

重点班学生学习较为主动，基础较好，课前工作落实到位，各环节能顺利完成，但光明班学生缺乏主动性，基础稍差，小综合基本不能完成，只能作为思考题。