12月4日  星期三  晴

因式分解之完全平方公式法

上课后，先给同学们总结了已经学习过的因式分解的两种方法。

1、提公因式法：一个多项式的各项如果有公因式，因式分解时一定要把这个公因式先提出来。

2、平方差公式法：含有两项的多项式，如果这两项恰好可以看做是两个数的平方差，因式分解时可以写成这两个数的和乘以这两个数的差。

总结完后，就举了两个例子让同学们思考如何分解。

1、-a⁴+16

解：-a⁴+16=16-a⁴=4²-(a²)²=(4+a²)(4-a²)= (4+a²)(2+a)(2-a)

在这里，4+a²不能再分解了，4-a²还可以用平方差公式分解为(2+a)(2-a)，分解因式一定要分解彻底。

2、-7ma²+28mb²

在这个多项式里，含有公因式，考虑到首项带“-”，所以公因式定为-7m,有公因式的，一定要先提公因式。

解：-7ma²+28mb²=-7m(a²-4b²)=-7m(a+2b)(a-2b)

公因式-7m提出去后，剩下的(a²-4b²)可以用平方差公式分解为(a+2b)(a-2b)，班级里有个别同学在分解(a²-4b²)时，容易犯一个错误，以为用平方差公式分解为（a+4b)(a-4b)，这就大错特错了，（a+4b)(a-4b)是a²-16b²分解来的。如果有这种错误的同学，则一定要好好记住了。

讲完这两个小题后，我在黑板上又写了一道题：

-7abx²+14abxy-7aby²

这个多项式有三项，提取一个公因式-7ab后，剩下的部分为x²-2xy+y²，在这里，x²-2xy+y²还可以继续分解吗？

x²-2xy+y²用提公因式或平方差公式是不能继续分解了，但是可以用完全平方公式来分解。因为（x-y)²= x²-2xy+y²,那么反过来，x²-2xy+y²=（x-y)²，类似的，还有：x²+2xy+y²=（x+y)²。这两个公式就是因式分解的完全平方公式，用字母a、b表示如下：

a²+2ab+b²=（a+b)²

a²-2ab+b²=（a-b)²

用文字语言表示，就是：“两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。”

象a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式。在本章的因式分解题目中，大部分由三项所组成的多项式，都是人为设计好了的，恰好符合完全平方式的形式。

上面这道题目的详细分解过程如下：

解：-7abx²+14abxy-7aby²=-7ab（x²-2xy+y²）

                      =-7ab（x-y)²

由易到难，我又举了一些要运用完全平方公式分解因式的例子。

1、16x²+24x+9

这个多项式没有公因式，它是由三项组成了，数学悟性高的同学一看就知道应该分解为（4x+3)²。由于担心部分同学不明白这个道理，这道题我把详细过程写了出来。

解：16x²+24x+9=（4x)²+2×4x×3+3²=（4x+3)²

在这里，4x相当于完全平方式a²+2ab+b²中的a，3相当于b。

2、-x²+4xy-4y²

这道题，粗看上去，没有公因式，首项和尾项与两种完全平方式的符号也不相同，但是仔细分辩，可以发现，这个多项式的三项的符号与完全平方式a²-2ab+b²的三项的符号恰好都相反，只要把多项式-x²+4xy-4y²都提取一个“-”号，剩下的部分就是一个完全平方式了。过程如下：

解：-x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-(x-2y)²

-x²+4xy-4y²提取“-”变为-(x²-4xy+4y²)的过程也可以理解为把-x²+4xy-4y²的每一项都装在括号前面是“-”的括号里，括号里的各项都改变符号。其实，上一周所学的添括号法则可以理解为把一个多项式提取了一个公因式，只不过这个公因式是“+1”或者“-1”，如果提取的公因式是“+1”，剩下的被括起来的部分不用改变符号，反之，就要改变。提公因式与添括号法则其实是一致的，添括号法则是提公因式的一种特殊情况。

3、（a+b)²-12(a+b)+36

这道题，如果写成m²-12m+36，我相信所有的同学都能分解为(m-6)²,但这道题不是m，而是（a+b）,聪明的同学知道把（a+b）看作一个整体，相当于m,但还有很多理解能力低的同学始终不明白整体是什么意思。到了初中，出现了多项式，这个概念是小学里所没有的，而恰好就是这个概念，让许多只有小学数学思维水平的同学屡屡中招。

多项式不能合并成一项，更不能象小学数学一样算成一个具体的数字，因此，多项式在加减乘除计算过程中，一定要添上括号，用括号把多项式这个松散的式子保护起来，下一步再去括号即可。

如能理解这一点，如果能严格按照规程去操作，初中的代数计算与小学里的数学题差不多，因为它们所用的算理都是一样的。此题的因式分解过程如下：

解：（a+b)²-12(a+b)+36=（a+b)²-2·(a+b)·6+6²

                     =[(a+b)-6]²

                     =(a+b-6)²

4、（a+2）(a-8)+25

这道题，前面虽然有（a+2）(a-8)，但是后面还跟了一个+25，所以这是一个和的形式，不是因式分解的结果。要把这道题因式分解，需要把它乘开，合并，化简，再去因式分解。

解：（a+2）(a-8)+25=a²-8a+2a-16+25

                  =a²-6a+9

                  =(a-3)²

合并，化简之后，所得到的结果一定是可以因式分解的，因为题目就是这样被命题老师设计出来的。我们每做一道题，其实都是在与命题老师进行一番思维的较量。只要你数学功底扎实，只要你能洞查先机，只要你能摸透命题老师的出题规律，你就可以无往而不胜。

接下来，就是大量的练习，巩固，通过题海战术形成做题技能了。

在做练习册上的题目时，有一道题有一定的难度，现统一做一个讲解：

1、  x(x+y)(x-y)-x(x+y)²

这个式子是由两部分的和组成起来的，一部分是x(x+y)(x-y)；另一部分是-x(x+y)²,这一部分也可以理解为-x(x+y)(x+y)。这两部分含有一个公共的因式x(x+y),要先把这个公因式提取出来，剩下的部分(x-y)与-(x+y)再用中括号括起来。过程如下：

解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)²= x(x+y)[(x-y)-(x+y)]

                       = x(x+y)[x-y-x-y]

                       = x(x+y)[-2y]

                       =-2xy(x+y)

这样就分解因式完毕。

还有一道常考题型，我也予以了讲解。

2、  若x²+kx+64是完全平方式，则k的值是__________

   因为x²+kx+64可以变形为x²+kx+8²,如果它是一个完全平方式，要么是（x+8)²,要么是（x-8)²,因为（x+8)²与（x-8)²的展开式里都含有一个共同的部分x²+64，不同的只是中间的部分，可能是+16x,也可以是-16x，所以+kx要么是+16x,要么是-16x，k的值有两种答案：±16。

   初中数学里面，象这样要考虑两种情况的例子太多了。物有阴阳，人分男女，电有正负，整个世界就是这样对立矛盾而又依存统一的。