11月4日  星期一  晴

期中考试前的最后一节数学课

  时间过得真快，明天就是学校进行期中考试的时间了，初二所有的学科都要来一次大检测，一方面是对学生的半学期以来的学习状态和学习情况进行一个总结，另一方面，也是对老师的教学进行一次评估和自查。

 临考之前，我和很多学生的感觉一样，就是觉得有很多知识点和很多重要题型、解题方法、注意事项都还没有讲透。书到用时方恨少，临到考时才悔迟。

 考前最后一节课，讲点什么呢？我想了一下，决定讲两个方面的题目。

一、必考题。

数学期中考试中，总有一些题目是在各种各样的考试试卷上必然出现的，不同的是字母的顺序和有关的数据不一样。我决定先花点时间讲一下这种题目。

结合上周五测试的模拟试题，我在昨天晚自习时间就已经找了一些必考题做错的同学一个一个地在我办公室过关了。其实我也知道，这里我用“过关”这个词是不太准确的，因为表面上，这些同学是点着头离开的，但谁知道他们是否真的会在考试中不再出错了呢。还有一些同学，可能上次考试没有出错，可下次考试由于思维短路而又丢分，这样的情况是屡见不鲜。上一届我所带的普通班里，初三最后的一系列中考模拟考试中，没有一道题是能做到两个班的全体同学全对的。比如，试卷上经常考的最简单的一道题，“2的相反数是_______”，或者“2的倒数是_______”， “2的绝对值是_______”，就这样的数学题，总是有那么几个同学，不是他错就是你错，好不容易把一个同学教会了，过一段时间之后，可能又是他因为理解错题意，而做错丢分。看到一些同学在这样的题目上丢分，我常常想，到底是他们不理解基础概念还是读题不细致，要么就是他们大脑里面的沟沟回回比别人的少。

言归正传。我讲解的必考题有这样几道：

1、一块三角形的玻璃，不小心打破为三部分，如果要到玻璃店去重新划一块，最简单的方法是带哪一块去。

答案是带那块角边角完好的部分去玻璃店重新划。以前做练习册时，有一些同学选择带只有一个尖角的部分去，认为这一部分小，带着方便。这样做当然是错误的，考试时，要是在这样的题目上丢分，那简直是太可惜了。这样的题得3分很容易，而最后的压轴题，要想得3分，实在太难。两相对比，你就知道，简单的题，一定不能丢分，否则，靠难题来弥补差距是多么的不划算啊。

2、一条公路，同一侧有两个村庄A、B，要在公路上找一个点P，使点P到A、B的距离之和最短。这种题目，以前上课时讲过的，要让PA+PB最短，可以采用平面镜成像的画法，先画点A关于公路这条直线的对称点A’，然后连结A’B，与公路的交点就是点P的位置。

此题，如果要求的是让PA=PB，虽然只有几个字不同，但思路就完全变了，要让PA=PB，点P必须在线段AB的垂直平分线上，因为只有线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。用尺规作图法画出线段AB的垂直平分线之后，这条垂直平分线与公路的交点就是点P的位置。

在14班讲解时，我还额外补充了两个小题，一个三角形ABC，找一点P，使点P到点A、B、C的距离相等。因为要使点P到A点、B点的距离相等，那么P点在线段AB的垂直平分线上。同理，P点在线段BC的垂直平分线上，P点在线段CA的垂直平分线上，所以P 点应该就是△ABC三边垂直平分线的交点。

如果要让点P到△ABC三条边的距离相等，情况又发生了变化。点P到AB边和AC边的距离相等，那么，点P就在∠BAC的角平分线上，因为只有∠BAC角平分线上的点到角两边AB和AC的距离才相等。同理，点P也在∠ACB的角平分线上，点P也在∠ABC的角平分线上。点P就是△ABC三个内角的平分线的交点。

这两个小题，要求不一样，具体的画图方法也不一样，都是数学课本上基础的数学知识点的具体应用。

3、还是一个经典作图题，有一个∠AOB，还有两个点M、N，求作一个点P，使P到OA、OB的距离相等，同时，还使点P到点M、N的距离相等。

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P到OA、OB的距离相等，所以P点在∠AOB的角平分线上，P到点M、N的距离相等，所以P点要在线段MN的垂直平分线上。只好先画∠AOB的角平分线，再画线段MN的垂直平分线，交点就是点P的位置了。

这种题目，有些同学不明白题意，很重要的一点就是他们不理解点到边的距离与点到点的距离有什么不同。

必考题还有很多，由于时间关系，就没有再讲，只讲了这样几个一定会考却极容易丢分的作图题。

二、难题。

  一次考试，一定会在试卷中出现几道难题，如果碰巧以前做过，或者听老师讲过思路，那么，考试时，你就会先声夺人，当别人还在苦苦思索解题思路时，你已经可以轻舟已过万重山了。所以，每次考试前隙，老师们总是爱压几道难题，如能遇到，自然很好，如考不到，至少也是锻炼了学生的思维。我每次考试前也总喜欢压宝，但多年来的考试实践已经证明，我的运气从来就没有好过。不过，压中一些中等难度必考题，却是屡见不鲜。

  结合上周考试的模拟试卷，我讲解了最后一题。这一题，在上一周的博客里面虽然讲解过了，但自己看与听老师讲，效果还是很不一样的，更何况，我还很怀疑同学们在家里看博文的自学性和效果性。

  这一题是这样的：如图，在等腰RT△ABC中，∠ACB=90^o，D为BC的中点,DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线一点F，连接CF。

（1）       求证：AD⊥CF；

（2）       连接AF，试判断△ACF是否为等腰三角形，并说明理由。

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    对于这样的难题，我还是采用边画图边讲解的方法，这样，可以让同学们看清以前所忽视了的一些重要条件。

等腰RT△ABC中。画到此处时，同学们已经看出∠ACB=90^o，CA=CB，而且∠CAB=∠CBA=45^o，这里，特别是∠CBA=45^o这个条件非常重要，而这，恰好就是同学们忽视了而找不到思路的一个条件。

再由于DE⊥AB，BF∥AC，如图：

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 可得到∠FBD=∠ACB=90^o，又由于∠CBA=45^o，DE⊥AB，所以∠EDB=∠EBD=∠EBF=∠EFB=45^o，从而可得到DE=EB=EF，BD=BF，再由于D为BC的中点，所以可得到BF=BD=CD，这就是题目一直在暗示我们，但我们从复杂的原图中很难发现的一个重要结论。就是因为差了这个结论，所以，一些同学苦苦思索而不得。

    做好这些准备工作后，再连上两条线段CF和AD，经验丰富的同学已经看出来了，要证△ACD ≌ △CBF，因为这两个三角形是先旋转再平移后得到的。

得到△ACD ≌ △CBF后，要证明AD⊥CF，两个班里还是有很多同学遇到了思维障碍，我又对着原图讲，由于△ACD ≌ △CBF，对应角相等，可以得到∠1=∠3，又因为∠1+∠2=90^o，所以可得∠3+∠2=90^o，那么，∠AGC=90^o，即AD⊥CF。

直到此时，同学们才恍然大悟。

第（2）小题里面，连结AF后，因为AE是DF的垂直平分线，所以AF=AD，又由于△ACD ≌ △CBF，得到AD=CF，所以可得AF=CF，那么，△ACF就是一个等腰三角形。只是这个过程，让有些欠缺折线性思维的同学把头偏转了好几次。

接下来，给了将近十分钟的时间让同学们把这道题改正，并好好悟一悟这道题的解题思路。期中考试时，肯定不会考这个原题，但是类似的题型，类似的难度，类似的分析方法，类似的解题思路却是一定可以遇到的。