又见谬论泛滥不得不说

                ——驳《基础概率理论为何至今不能解决累加概率“1+1＝2”？》

  12月4日，林氏在他的博客中发表了《揭示基础概率学科中一个最本原、本质的规律》“论文”，洋洋有两万多字，冗长到使人感到厌倦不能安心读下去，其实不过是几个月来七篇博文的总汇，我曾为此陆续写出九篇质疑文章，针对林氏文中的错误进行了批驳和纠正。但林氏仍固执己见，坚持自己错误观点，将他的观点论据系统化写成“论文”，扬言投送专家和刊物评定真伪。这是好事儿，我将乐观其成，最后能把这场争论做个结论。针对这篇“论文”，我的答辩就是那九篇质疑文章，不再赘述。12月12日，林氏又写出了那篇“论文”的补充说明，《基础概率理论为何至今不能解决累加概率“1+1＝2”？》，文中又见谬论泛滥，针对这篇说明我又不得不说了。

  文中提到：连续掷一枚均匀的硬币2次或4次，至少出现一次正面的概率分别是P＝3/4和P＝15/16，这个计算是正确的。但接着他却提出：“依据大数定理试验（该名词是林氏杜撰），在理论（统计平均）上我们可以确定：每掷一次硬币，会出现正面m=1/2次；那么，连续掷一枚硬币二次的话，至少会出现正面m＝1次；同理，连续掷一枚硬币4次的话，至少会出现正面m＝2次”。这里“至少会出现正面m＝1次”的说法就欠妥当了，正面出现 0次也是可能的；而“至少会出现正面m＝2次” 的说法也欠妥当，因为正面出现 0次、1次也是可能的。这里林氏没有将“至少”与“恰有”或“正好”的概念弄清，也没有说请“至少会出现”与“会出现”的关系。

  接着他提出：“在大数定理试验中，掷2次硬币至少会出现正面的期望值m＝1次，这一期望值对应的概率是多少？掷4次硬币至少会出现正面的期望值是m＝2次，这一期望值对应的概率又是多少？依此类推，掷10000次硬币至少会出现正面的期望值是m＝10000/2＝5000次，这一期望值对应的概率又是多少？这一问题至今未能解决”。

  其实这个问题是可以计算出来的，其根据是：如果事件A发生的概率是p（0＜p＜1），A不发生的概率为q＝1－p,作了n次试验，A发生次数为X,则随机变量X服从二项分布（即n重独立实验）,其分布律公式是：P(X=k)=C^k_np^kq^n-k  (k=0,1,2,……，n)，P(X≥k)= ∑Cⁱ_npⁱq^n-i  （k≤i≤n).

  利用极大似然法可求出，当X取np（即随机变量X的数学期望值）时，P(X=k)最大，如np不是整数，可取[np]及[np]+1，其中[x]表示不超过x的最大整数。即P( X＝np )＝C^np_np^npq^n-np＝max{ C^k_np^kq^n-k}  (0≤k≤n).

  由于概率分布有p_k≥0和 ∑p_k＝1 (0≤k≤n)的性质, P( X＝np )这个值并不会很大，但绝不可能等于1，不过在n重独立实验的样本空间中，X＝np是最容易出现的。

  如掷2次硬币“至少”会出现正面的期望值m＝1次的概率是:P(k≥1)＝C¹₂（1/2)²＋  C²₂（1/2）²＝3/4,出现这一期望值对应的概率是：P(k＝1)＝C¹₂（1/2)²＝1/2. 掷4次硬币“至少”会出现正面的期望值m＝2次的概率是：P(k≥2)＝C²₄(1/2）⁴＋C³₄(1/2）⁴+C⁴₄(1/2）⁴＝11/16,出现这一期望值对应的概率是：P(k＝2)＝C²₄(1/2）⁴＝3/8.

  至于掷10000次硬币“至少”会出现正面的期望值是m＝10000/2＝5000次，这一概率 P(k≥5000)，可用棣莫弗-拉普拉斯定理算出为1/2，而P(k＝5000)=0.007979.

  对此问题，林氏在文中是采取了如下“概率数理”推演来加以解决的：“当连续掷一枚硬币2次，至少会出现正面m＝1次，它表明‘至少出现一次正面’这一事件已有100%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝100%＝1；同理当m＝2时，它表明‘至少出现一次正面’这一事件已200%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝200%＝2；依此类推，当m＝10000/2＝5000时，它表明‘至少出现一次正面’（注：此处林氏有误，应为5000）这一事件已500000%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝500000%＝5000”，这可是天大的错误。

  错误1：林氏说：“当连续掷一枚硬币2次，至少会出现正面m＝1次，它表明‘至少出现一次正面’这一事件已有100%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝100%＝1”，这是不对的。正如上面所述，当连续掷一枚硬币2次时，其样本空间有四个基本事件{HH,HT,TH,TT}，“至少会出现正面m＝1次”包含三个基本事件{HH,HT,TH}，其相应的概率是3/4，也不是1.诚然整个实验的结果m＝1最易出现，也可能真的出现了，但不能说P(m＝1)=1，更不能看成是必然事件。

  错误2：林氏说：“当m＝2时，它表明‘至少出现一次正面’这一事件已200%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝200%＝2”，更是不对了。当连续掷一枚硬币4次，至少会出现正面m＝2次的概率是11/16，不能将P(m＝1)＋P(m＝1)，因为你在计算P(m＝1)时，是在样本空间{HH,HT,TH,TT}中讨论问题，而在计算P(m＝2)时，是在样本空间{HHHH,HHHT,……，TTTT}中讨论问题，怎么会有此空间（连掷硬币4次）的P(m＝2)等于它空间（连掷硬币2次）的P(m＝1)＋P(m＝1)呢？

  事实上，在同一个概率空间中，由于概率分布的性质：p_k≥0和 ∑p_k＝1 (0≤k≤n)，决定了发生在这个空间的事件概率值相加不会超过1.而发生在不同概率空间的事件概率是不能相加的，因为概率理论中没有这个根据。如林氏所说的掷硬币实验，由于累积次数的增加，每增一次投掷，样本空间就变动一次，概率分布也随之变动，不能将前一个样本空间事件的概率，不变的拿到下一个样本空间里来累计。

  错误3：林氏说：“当m＝10000/2＝5000时，它表明‘至少出现一次正面’（注：此处林氏有误，应为5000）这一事件已500000%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝500000%＝5000”。如上所述，在连续掷硬币10000次的样本空间里，此时至少出现5000次正面的概率仅为1/2，那里会是什么5000。

  林氏以上述的错误为依据，在文章后部论述提出公式P_乘＝1-e^-P加的必要，并说明公式应用的广泛性，由于是无根之木、先天贫血，一出手注定是错误的，再怎么五迷三道地说教也无济于事。至于他所说的这篇博文的目的：“本论文的结论是：累加概率值P＝1+1＝2>1这种矛盾是可以调和并最终得以解决的，因为它是将各次事件发生的P=1(100%)累加起来后所得到的累加值”，根据上述我的分析和计算，这个结论的荒谬性不言自明，谬论自然是不攻自破了。

附录：

基础概率理论为何至今不能解决累加概率“1+1＝ 2”？

为什么“大数定理试验”仅是有试验（期望值）而无理论（概率值）？

下面引用“掷硬币”实例来说明：

问：连续掷一枚均匀的硬币2次或4次，至少出现一次正面的概率是多少？

当今概率教材的解答是依据“n重贝努里试验”得出其概率是：

（掷2次）：P＝1-(1/2)²=1-1/2²=1-1/4=3/4

（掷4次）：P＝1-(1/2)⁴=1-1/2⁴=1-1/16=15/16

所谓“n重贝努里试验”是指：在同样的条件下重复各次相互独立进行的一种实验。事实上，这种试验也叫“大数定理试验”，也就是说，这二个试验其实就是同一试验过程，我们只不过是用了不同的角度来理解和计算才得出了二种结论。

所以，上述“掷硬币”实例，除了当今教材主张用“n重贝努里试验”计算其理论概率外，我们还应当用“大数定理试验”计算其理论概率：

依据大数定理试验，在理论（统计平均）上我们可以确定：每掷一次硬币，会出现正面m=1/2次；那么，连续掷一枚硬币二次的话，至少会出现正面m＝1次；同理，连续掷一枚硬币4次的话，至少会出现正面m＝2次。

问题出来了：

通过上述分析，我们发现，在上述“掷硬币”这个随机实例中，当今教材（定义）针对“掷硬币”同一随机事件，用“n重贝努里试验”解答的是概率值（即：P＝3/4；P＝15/16）；但用“大数定理试验”解答的却是期望值（即：m=1次；m＝2次）。我们知道，P＝3/4这一概率值对应的期望值是：掷硬币2次形成的4种组合中，含有正面的组数有3组，不含正面的组数有1组；同理，P＝15/16这一概率值对应的期望值是：有15组含有正面，另1组不含正面。

那么，在大数定理试验中，掷2次硬币至少会出现正面的期望值m＝1次，这一期望值对应的概率是多少？掷4次硬币至少会出现正面的期望值是m＝2次，这一期望值对应的概率又是多少？依此类推，掷10000次硬币至少会出现正面的期望值是m＝10000/2＝5000次，这一期望值对应的概率又是多少？

但这一问题至今未能解决。

对此问题，本论文采取了如下概率数理推演来加以解决：

当连续掷一枚硬币2次，至少会出现正面m＝1次，它表明“至少出现一次正面”这一事件已有100%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝100%＝1；同理，当m＝2时，它表明“至少出现一次正面”这一事件已200%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝200%＝2；依此类推，当m＝10000/2＝5000时，它表明“至少出现一次正面”这一事件已500000%的机会发生了，其相应的概率（机率）自然是P＝500000%＝5000。

这种结论可用下面的逻辑推导来表达：

掷硬币：                                       2次+2次＝4次

期望值（出现正面次数）：          1次+1次＝2次

累加概率值（出现正面机会）1（100%）+1（100%）＝2（200%）

……

我们发现，累加概率值P＝1+1＝2>1与传统概率定义0≤P≤1相悖，这也就是自概率论创立300多年来、至今没有解决“大数定理实验”所属的概率值该如何计算的真正原因。的确，无论是谁，都会被这个问题给碰回去了。

事实上，上述计算得出P＝2，其概率数理推演过程无任何错误（至少在统计上无任何问题，那么，面对这一客观事实，是不是我们的概率定义还存在有不完备的地方？），那么，我们又应当怎样解决累加概率值P＝1+1＝2>1这个矛盾呢？

对此，本论文用了2万余字的长篇来论，其宗旨就是为了解决这一困境。论文中首次推导出了概率公式P乘＝1-e^-P加以及相应的概率实验，期望能用这一数理公式对教材主张的累乘概率P≤1与本论文主张的累加概率P>1这一矛盾的二个极端结果进行调和及解决。

这个公式实际上是将贝努里实验的“累乘概率”与大数定理实验的“累加概率”二者内在地关联、调和并统一了起来（因为二者本来就是同一原理的同一试验）。

总之，本论文的目的就是解决：1、解决大数定理试验“有试验而无理论（统计了期望值但没有计算其相应的概率值）”的困境；2、解决“掷硬币”这一随机事件（系统）内既可用乘法又可用加法进行概率计算时，当今却仅有累乘概率、而无累加概率的困境。因为我们必须面对的问题是“掷一枚均匀的硬币n次，‘至少出现一次正面’这一事件发生m次（期望值）所对应的概率（大数定理试验期望值所对应的概率值）是多少？”

所以，我们理应对这个简单或许十分重要的基础问题作出最直接的回答。只有我们对基础概率领域这个本质问题进行了揭示和解决，才能准确地解决其他复杂的随机问题（比如随机过程是如何参与宇宙及生命的整体系统作用的）——即解决累乘概率P乘和累加概率P加二者通过概率公式P乘＝1-e^-P加中最无理的无理数“e”的“有理”调制下的平衡与偏离、无序与有序二者概值偏差矛盾共存的非线性（系统）概率数理机制问题。

本论文的结论是：累加概率值P＝1+1＝2>1这种矛盾是可以调和并最终得以解决的，因为它是将各次事件发生的P=1(100%)累加起来后所得到的累加值。

论文说明人：林雄春（中国）

2012年12月12日