如果我们重复观察n次，某事物出现了m次，比值μn=m/n,称为该事物出现的频率。频率可以作为该事物出现可能性大小的一种度量，也就是说：频率越大，该事物出现的可能性越大；频率越小，该事物出现的可能性越小。我们发现靠重复观察获得的频率值，并不是一成不变的，即使重复观察的次数n不变，每作n次观察，得到的频率也是不一样的。但加大观察次数n，每次观察得到的频率相差值会不大，甚至越来越接近，会稳定于某一个常数值。这种现象屡见不鲜，比比皆是，这种现象说明了什么？能说频率的极限是这个常数值吗？

让我们看一个传统的、具体的例子。比如掷一枚硬币，硬币材质是均匀的，两面有不同的图案，一面是牡丹花，另一面是币值。每掷一次硬币可能出现花面，也可能出现字面。如果掷100次硬币，花面出现了46次，我们说花面出现的频率是46%。后来又掷硬币100次，花面出现了51次，这时得到花面出现的频率却是51%。这就是我们前面所说的；“频率可作为事物出现可能性的度量，频率随不同观察有变化”。

如果加大掷硬币的次数，看看频率有何变化？历史上不少人已做过这样的实验，有这样的实验记录：蒲丰掷硬币4040次，花面出现2048次，算出频率为0.5069；K·皮尔逊掷硬币12000次，花面出现6019次，算出频率为0.5016；又一次K·皮尔逊掷硬币24000次，花面出现12012次，算出频率为0.5005.

好了，你也可以作此实验，只要不厌其烦，你可以掷硬币一百万次、一千万次，……，记录下花面出现的次数，可算出每次花面出现的频率。你可以发现花面出现的频率，越来越接近1/2 .在《概率论》中，就把1/2称为硬币花面出现的概率。

这种给出一事件出现概率的方法，称为事件的概率统计定义。

曾经有位数学家冯·米赛斯说,频率μn=m/n的极限就是概率ｐ，并记成

            

 

 

 
limμn=ｐ．

这种说法及记法实际上是错误的，这是因为我们所说的数列{an}的极限，其中数列的各项an都是确定的数，an随着n的无限增大越来越靠近一个常数A，这个常数A就是该数列的极限，这时才可用极限符号“lim”表达，即

              
 

 
liman=A．

 而频率μn=m/n，它不是确定的数，其中m可取0，1，2，……，n中的任一个值，而且取每个值的可能性并不一样。比如当掷硬币100次时，m取48，49，50，51，52等的可能性远远大于m取0，1，2，及98，99，100 的可能性。这种不确定的数，称为随机数（或随机变量），随机数列{μn}随n无限增大的变化趋势，怎能用确定数数列的极限来描述呢？因为不排除μn=m/n在变化的取值中，m取0，1，……及……，99，100等极端值，而使频率μn远远偏离概率值ｐ.显然，冯·米赛斯的做法犯了错误。

在《概率论 》的发展中，后来能精确描述频率与概率关系的是“大数定律”和依概率收敛的概念，由数学家贝努利解决，他给出的贝努利定律以严格的数学形式，表达了频率的稳定性，这就是当n无限增大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小， 这涉及专门的数学知识，就不能多叙述了。