一、从亚里斯多得到笛卡尔

第一位尝试解释彩虹现象的，大概是亚里斯多得。他提议说：彩虹是阳光经由云层的一种特别的反射，光线从固定的角度反射，造成了圆锥形的彩虹。亚里斯多得因此正确地解释虹的圆形形状，而且了解彩虹并不是位处天空中固定位置的实质物件，它是光线沿着各个方向而散射进观察者的眼裏。

彩虹光线和入射光线所形成的夹角，由培根（Roger Bacon）首次量出，他测出的角度是42°，次级虹则约高了8°。在今天，我们习惯由相反的方向起度量，以表出阳光方向的总改变，所以，主虹的角度是180减42，即138°，称之为彩虹角（rainbow angle），次级虹的角度则为130°。

在亚里斯多得的论证之后十七个世纪，彩虹的理论才有进一步的发展。1304年，德国神父希度力（Theodoric）否定了亚里斯多得的假想：彩虹是云中水滴的集体反射所造成的，他提议说，每一个水滴都可形成彩虹。进一步的，他拿了个放大的水滴──装满水的球形容器──以实验证明了他的看法，而且也画出了形成彩虹的各道光径。

希度力的发现给埋没了近三个世纪，一直到笛卡尔才又以相同的方法再发现。希度力和笛卡尔都指出，彩虹是由进入单个水滴而在内面反射的光线所合成的，次级虹则是两次内反射后的结果，由于每一次的反射总会造成光线的减弱，所以次级虹也就较主虹显得淡弱些。希度力和笛卡尔也注意到，沿着彩虹的角度范围内的每一个方向，祇能由实验球看到一种颜色，也就是，只有移动眼睛的位置，才会有新的色彩接着出现，希度力和笛卡尔就结论说，我们看到彩虹中的各种颜色，是由不同组的水滴所形成的。

就如希度力和笛卡尔所了解的，所有彩虹的特征，均可由光线通过单个水滴的情形来解释，所以决定彩虹性质的基本原理，即是控制光线在透明物质间运行的那些交互作用，也就是反射和折射。

反射定律是我们熟悉而且直觉得到的原理，即反射角必等于入射角。折射定律则複杂些，反射的光线可由几何的方法来完全决定，而折射则牵涉到光和介质的性质。就我们所知，光速是自然界中的一个不变的基本常数，但是在介质中的光速则要由介质的性质来决定，而光速在真空中与在介质中的比值，就称为介质的折射率，空气中比1稍大，水中则大约是1.33。

因此，由空气进入水中的光线在界面给延迟了，若光线是斜射进去，这个速度的改变自然造成了方向的偏折。而入射角和折射角的正弦比成了个常数，其比值即是两介质折射率的比，这个等式称为斯涅耳定律（sinθin / sinθout = n1/n2），以纪念1621年就写下此定律的斯涅耳（Willebrord Snell）。

着手分析彩虹，也就是把反射和折射定律用于通过水滴的光线，由于假设水滴是球状的，所以对不同方向的入射光是没有区别的，因此，唯一有关的变数是入射线与通过球心的主轴间的距离，这个距离称为撞击参数（impact parameter），大小范围由零（当入射线与中心轴相合）至水滴的半径（入射线切于球面）。

在水滴的表面，入射线部份反射，现在就把这个反射光线定为第一类（见图二），剩下的光线进入水滴内（由折射造成方向的改变），而在下个表面再部份通过（第二类），且部份反射，接着，反射的光线再度地分成反射和透过部份，这个过程就无止境地持续下去，如此，水滴形成一系列的散射光线，且很快地减低强度。第一类光线是由水滴的直接反射，第二类光线则直接地透过，第三类光线是经由一次内反射后造成主虹，第四类光线经两次内反射造成次级虹，更高级次的虹是经由更複杂的路径所形成，但通常不易看到。

对每一类的散射光线而言，散射角度是撞击参数的函数，由于在阳光对水滴的照射下，容有各种可能的撞击参数，因此，事实上，光线可以在任何的方向散射。虽然要找出形成彩虹的各道光径并不难，但是还有其他无数条的光线跑到那裏去呢？！为什么，散射出的光线强度，只有在彩虹附近才得以显现呢？这是希度力所没想到，而由笛卡尔才回答的。

笛卡尔利用反射与折射定律，对每道光线进入空气与水介面的每个点，辛勤地加以计算，就拿最重要的第三类光线来说，当撞击参数为零时，散射角度是180°，也就是光线经过了球心由后面的那层壁再反射回太阳的方向。当撞击参数增加，也就是入射线由水滴的中心往外偏移时，散射角度渐渐减少。可是，笛氏发现这个趋势并不能适用于撞击参数增至极大时（见图三），相反地，当撞击参数过了水滴半径的约7/8时，散射角度就再度增大。散射角度的极小值是138°。

对第四类光线言，当撞击参数为零时，散射角度也为零，也就是通过中心的光线经两次反射后，再沿着原来的方向前进。当撞击参数增加则散射角也跟着增加，但是同样地这个增加的趋势又倒转回来，这次最大值是130°。当撞击参数再增加时，光线就倾向于折回原来的散射方向。

因为水滴在阳光的均匀照射下，入射光线的撞击参数均匀地分布，因此散射的光线在随撞击参数改变最慢的散射角度上最集中。这改变最慢的区域便在极大和极小散射角的附近。如此，主虹和次级虹的角度便得以解释，而且，由于第三类或第四类的光线无法散射入130°至138°的角度范围内，亚力山大的暗带也就迎刃而解了。

笛卡尔所解释的彩虹是个相当简单的现象，亮度只不过是散射角度改变快慢的一个函数，而这个角度恰由两个因素来决定：折射率──通常假设为常数，和撞击参数──假设为均匀分布。唯一与彩虹角度完全无关的是水滴的大小；对小的云层水滴和对由希度力和笛卡尔所引用的大水滴容器，散射的几何都是一样的。