《等差数列的前n项和》教学设计

杨柳青一中刘志涛

 

学    科：数学

课    题：等差数列的前n项和

年    级：高一

学    期：下学期

教材来源：人民教育出版社《数学5》第二章第三节

 

一、课前四问

（一）我打算这节课让学生获得什么？

【教学目标】

1.知识与技能：掌握等差数列的前ｎ项和公式及其推导过程，并能灵活应用公式解决一些实际问题，培养学生的推理能力。

2.过程与方法：以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主的教学手段，以多媒体演示为辅助手段进行教学。

3.情感态度与价值观：通过合作学习，培养学生积极参与数学活动的意识，在学习中获得成功的体验。

【教材分析】

本节是《数列》一章中的重要基础知识，无论在知识上，还是在能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础。推导等差数列前n项的“例序相加法”是今后在数列求和的一种常用的重要方法，也是高考命题热点。

【学情分析】

学生在此之前已经掌握了等差数列的通项公式，为等差数列的求和做好了充分的知识方面的准备。另外，我校是天津市重点校，学生的基础比较扎实，并且有较高的学习积极性和主动性，为本节课奠定了坚实的基础。

（二）我打算多长时间让学生获得？

【时间分配】我打算用近30分钟的时间让学生获得。

（三）我打算让学生怎么获得？

教学中让学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主的教学手段，以多媒体演示为辅助手段进行教学。

【教学重难点分析】

重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．

【教学策略的选择与分析】

首先由老师创设问题情景，激发学生的学习兴趣，启动学生的大脑，使他们的思维受到挑战，同时引发师生情感上的共鸣，使每位学生都积极主动地参与到课堂教学中来，经历学习过程。

【教学环境】

在课堂教学中充分利用信息技术的优势，使课堂教学直观、生动，启发学生开启智慧之门，激发学生的学习兴趣。

【教学资源】

本节课以课本例题、习题为切入点，充分利用课本资源，加强例题和习题挖掘，既达到传授重点概念和基本方法的目的，又指导和改进学生的学习方式、方法。

（四）我怎么知道教学达到了我的要求，有多少学生达到了我的要求？

教学过程中对学生分层练习与拓展引领，通过练习可以看出学生是否达到预期的效果。

二、教学过程五环节

（一）我如何引发学生问题意识，激发内在求知欲？

教师：同学们，我们上节课学习了等差数列的通项公式，一共有哪几种形式？

学生：争先恐后举手，积极踊跃地回答老师提出的问题。

教师：多媒体展示：我们共学了三种形式的通项公式:

(1)ａ_n＝ａ₁＋（ｎ—1）ｄ(2)ａ_n＝ａ_m＋（ｎ—m）ｄ (3)ａ_n＝pn+q

[设计意图]复习上节课所学的旧知识，具有承上启下的作用，为本节课题的提出做好充分的铺垫。

（二）我如何创设有价值的教学情境，引发情感共鸣？

1．教师：接下来，我为大家讲个故事：在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？

学生：大家很快陷入了沉思，进行积极思考，探究高斯的巧妙的解题方法。

[设计意图] 运用同学们熟悉的高斯的著名故事吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使每位同学的思维得到挑战。

2. 教师：哪位同学能说一下高斯的想法，与大家共同分享一下。

学生：高斯是这样算的：1+100=101,2+99=101,3+98=101,……50+51=101，共50个101，所以结果为5050。

（三）我如何实现师生、学生间的平等对话，促进师生共同学习？

教师：很好，高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？下面让我们共同分析（推导过程略）。这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．

教师：同学们，结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？

学生：独立思考、自主探究、进行合作交流。公布结果为：

[设计意图]共同探讨求和公式的推导过程，培养了学生自主探究与合作学习的能力，有效地促进了课堂教学。

（四）我如何关注学生个体的学习目标达成情况，提升帮助的针对性？

教师：两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？

学生：学生自主讨论后，在老师的指引下总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．

[设计意图]对比两个公式，找出异同点，使所学内容得以升华。

教师：用幻灯片展示例1、例2

例1．根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａ_n｝的前ｎ项和S_n．

（1）ａ₁＝ —4，ａ₈＝ —18，ｎ＝8．

（2）ａ₁＝14．5，ｄ＝0.7，ａ_n＝32．

例2. 已知一个等差数列｛ａ_n｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？

学生：小组合作学习，解答两道例题，小组代表为同学讲解。

教师：在学生讲解后进行分析，对于例1恰当选用公式进行计算．例2

将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ₁与ｄ的关系式，它们都是关于ａ₁与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ₁与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．

[设计意图]教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａ_n，ａ₁，ｎ或者ａ₁，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ₁，ｄ，ｎ，ａ_n及S_n这五个量知其三便可求其二．

（五）我如何引导学生进一步学习，实现学生自主探究？

教师：同学们，刚才的例题大家讲的很好，下面我共同关注一个实际问题：问题略。

教师：引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．

解：略。

学生：在老师的引导下完成该问题的解答。

教师：引导学生规范应用题的解题步骤。

布置作业：

1.完成练习册等差数列求和一节。

2.思考题：：一般地，数列｛ａ_n｝前ｎ项和S_n＝Aｎ²＋Bｎ（A≠０），这时｛ａ_n｝是等差数列吗？为什么？

[设计意图]巩固本节课所学的内容，同时又分层作业，体现了分层教学，使不同层次的学生得到相应的发展。

三、教学评价四特征

针对本节课的教学目的和设计理念，我采用教师启发引导，学生自主探索、合作交流和多媒体演示等教学手段，突破学生思维的障碍，分散教学的难点，使不同层次的学生都会有所收获。等差数列的前n项和的推导与应用对学生有一定的困难。我采用学生独立思考、合作交流，尽可能使问题在师生互动中得到解决；教学中关注每一位学生，教师在巡视的过程中对部分学生加以指导，然后通过师生互动使问题得到解决，最后通过多媒体演示使学生加深理解。另外，作业的布置使课堂中的探究延伸到课外，可以对学生的学习态度、学习方法施加更深远的影响。