立体几何基本概念、“综合法”解题基本思路

 

一、立体几何的作图：

 

“几何作图是难点，关健就是面垂线；记住常用典型题，细读题意作直线。”

 

二、立体几何证明题：

 

 “证明平行与垂直，“三者”之间互推导； 逆推分析找思路，证明就是分析倒。”

立体几何证明题，主要是求证线线、线面、面面之间的垂直和平行关系，已知条件一般也是这些关系，所以用的就是垂直和平行的性质和判定定理，思考方式基本如下所示：

 

 

 

 

 

 

分析这些位置关系，不断转化，就可证明，一般不会太难（定理内容略）。

“三者”之间互推导：指在证明题中，利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行” ，“三者”之间互为条件和结论，来证明题目的结论；利用“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直” 之间互为条件和结论，来证明题目的结论。其中，主要是“线线”、“线面”之间的互相推导。

逆推分析找思路：指在分析的过程中，用“树图”分析的方法，从要“证明的结论”出发，逐步逆推到“已知条件”。

 

三、立体几何计算题：

 

 “一线三角四句话，恢复实形得简化；牢记公式是基础，准确计算很重要。”

 “一线”：指 “面垂线”。有“面垂线”常用“面垂线”，无“面垂线”常作“面垂线”。作“面垂线”时，要准确确定“垂足”的位置。解题的关键是会作、会用“面垂线”。

“三角”：指“线线角”、“线面角”、“二面角”。 解题的关键是：

会用 “平行线”进行线段的平移，准确作出“线线角”的平面角。

会用 “面垂线”或“棱垂面”准确作出“线面角”、“二面角”的平面角。

“四句话”：立体图形看平面，两个平面看交线；先求线段后求角，常用直角三角形。

两个平面看交线：指在计算题中利用“一线看两面，两面看一线”的方法，

例如：某线段（两平面的交线）的长度在一个平面里是要求的，而在另一个平面里则是可求的。

 

注意：在实际问题中，平面常常是以三角形出现的。因此，下面讲义中涉及的平面基本上都是用三角形来表示的，所以，有关问题的研究基本上都是放在四面体中去讨论的。

（一）、求点到面的距离

口诀：点面距、面垂线，经常利用体积法；

体积法，求边长，面积公式不能忘。                                

1．能作出面垂线的，可以直接求长。

2．不好作出面垂线，则用“体积法”求。

如图1：求 点到平面 的距离。

① ∵在四面体 中，有 ，在后三个三棱锥中找一个能求其体积的（这个三棱锥的底面有“面垂线”：即，三棱锥的“高”是可求的），假设 可求体积的值。    

② 再求出 的值，有时为了求 的面积，要先求出 的边长，或者内角，再求面积。（具体方法见后面：九、常用平面几何知识）

③设 点到平面 的距离为 （用体积法就是不要作出高 ）

∵ ，又∵ ，∴ ，∴ .

（二）、求线线、线面、面面的距离，口诀：“求距离，要转化，多数变为点面距”。

1．求异面直线的距离：

① 存在或可以作出公垂线，则直接求出公垂线的长就是异面直线的距离。

② 先把“求异面直线的距离”转化到“求直线到平面的距离”，再转化到“求点到平面的距离”。

如图2：求异面直线 和 的距离：

先过 上一点 作 ∥ ；设相交直线 和 确定的平面为 ；

再在 上取一点 ，则异面直线 、 的距离就是 到平面 的距离。

2．求两条平行线之间距离：平面几何问题（略）。

3．求线面距离：必要条件是：线∥面。

方法：都是转化为求点到平面的距离（略）

4. 求面面距离：必要条件是：面∥面。

方法：都是转化为求点到平面的距离（略）

 

（三）、求线线夹角，口诀：“线线角，要平移，常用中点中位线”。

1．直接平移：

①过一条直线上的一点，作另一条直线的平行线，如图3，过直线 上一点A作 ∥ ，则 和

夹角 ，就是 和 的夹角。

②过两条直线外一点分别作两条直线的平行线，如图4，过直线 和直线 外一点 作 ∥ ；，

∥ ，则 和 的夹角 ，就是 、 的夹角。

注意：异面直线所成的角范围是 < ≤ 。

2．利用中点、中位线进行平移：

    在实际解题中，直线 、 都是以线段形式出现，如图5，求线段 和线段 的夹角。常用方法是：连接 、 、 、 ，这样就把问题转化为在四面体 中去解决，取 、 、 、 四个线段的三条线段的中点，例如取 、 、 中点 、 、 ，∵ ∥ 且 = ， ∥ 且 = ，∴ 和 的夹角是∠ 或是 -∠ （如果∠ > ）。

注意：（1）求∠ 的方法是在△ 中，先求边长后求角，求角一般用余弦定理，如果是直角三角形也可以用锐角三角函数来求角，在求出的角的三角函数后，角可以用反三角函数来表示。其中，求边长的关键是求 的长，有时 的长不容易求，可以取 中点 ，利用 来求角，这里的选择主要是看 和 那一个比较好求。

    （2）在图五中求 或 的长，要掌握“一线看两面，两面看一线”的方法：即 或 的长在△ 或 中是要求的，另外要找出一个包含 或 的平面，在这个平面上 或 的长度是可求的。

 

（四）、求线面夹角（内讨论）口诀：“线面角，找垂线，作出垂线就有角”。

1.四面体内有“面垂线”：

例：在四面体 中，已知 ⊥平面 ， 是 在平面 上的垂足，求作： 与平面 的线面角.   

作法：连结 ，则：∠ 就是 与平面 的线面角.（图6）

2.四面体内没有“面垂线”，若有下述条件，则可作“直线与平面的夹角”：

（1）.已知：在四面体中，斜线和对棱垂直

例：在四面体 中，已知 ⊥ . 求作： 与平面 的线面角.

作法：过 作 ⊥ ，交 于 ，连结 ，则：∠ 就是 与

平面 的线面角.（图7）

     （或：过 作 ⊥ ，交 于 ，连结 ，则：∠ 就是   

与平面 的线面角.（图7））

（2）.已知：在四面体中，有两个相互垂直的平面

例：在四面体 中，已知平面 ⊥平面 .求作： 与平面  

    的线面角.

作法：过 作 ⊥ ，交 于 ，连结 ，则：∠ 就是 与

平面 的线面角.（图8）

（3）.已知：在四面体中，斜线和相邻的两条棱构成的平面角相等

例：在四面体 中，已知∠ ＝∠ .求作： 与平面 的线面角.

作法：过 作∠ 的角平分线 ，交 于 ，连结 ，则：∠ 就是 与平面 的线面角.（图9）

（4）.已知：在四面体中，与斜线一个顶点相邻的两条棱相等

例：在四面体 中，已知 ＝ .求作： 与平面 的线面角.

作法：在平面 上作 的垂直平分线 ，过 作 的垂线 ，交  于 ，连结 ，则：∠ 就是 与平面 的线面角.  

（图10）

注意：线面角的范围是 < ≤ .

 

（五）、求面面夹角（在四面体内讨论）口诀：“面面角，棱垂面，作出垂面就有角”。

1.四面体内有“面垂线”：

例：在四面体 中，已知 ⊥平面 ， 是 在平面 上的垂足，求作：平面 与平面 二面角的平面角.   

作法：在平面 上作 ⊥ ，交 于 ，连结 ， 

      则：∠ 就是平面 与平面二面角的平面角.（图11） 

（或：在平面 上作 ⊥ ，交 于 ，连结 ， 

则：∠ 就是平面 与平面 二面角的平面角.（图11））

2.四面体内没有“面垂线”，若有下述条件，则可作“二面角的平面角”：

（1）.已知：在四面体中，二面角的棱与对棱垂直

例：在四面体 中，已知 ⊥ .求作：平面 与平面 二面角的平面角.

作法：过 作 ⊥ ，交 于 ，连结 ，则：∠ 就是平面

     与平面 二面角的平面角.（图12）

（或：过 作 ⊥ ，交 于 ，连结 ，则：∠ 就是平面 与平面 二面角的平面角.（图12））

（2）.已知：在四面体中，二面角的一个面是等腰三角形

例：在四面体 中，已知 ＝ .求作：平面 与平面 二面角的平面角.

作法：∵ 是等腰三角形，在 中作 边上的高 ，过 在平面 上作 的垂线 ，

     则：∠ 就是平面 与平面 二面角的平面角.（图13）

说明：①、若 也是等腰三角形，且 ＝ .那么，垂线 一定过点 ，这时∠ 就是平面 与平面 二面角的平面角.（图13－1）

②、若 是直角三角形，那么，垂线 与 （或 ）的交点就需要作出 的实形图来进行判断、证明与计算.

（3）.已知：在四面体中，与二面角的棱相邻的两个面是全等的三角形

例：在四面体 中，已知 ≌ .求作：平面 与平面 二面角的平面角. 

作法：过 作 ⊥ ，交 于 ，连结 ，则：∠ 就是平面

     与平面 二面角的平面角.（图14）

（4）.已知：在四面体中，四个面都是直角三角形（如图15）

例：在四面体 中，已知 ⊥平面 ， ⊥平面 ，

求作：平面 与平面 二面角的平面角. 

分析：这个四面体 是有两条面垂线 与 的四面体，它的四个面都是直角三角形。是一个重要的四面体，在解题时必须熟悉它。这个四面体中以

、 为棱的二面角是直二面角， 、 、 为棱的二面角的平面角也都容易求，具体求解过程略。

下面讨论二面角 － － 的平面角的作法：

作法：过 （一个面垂线的垂足）作 ⊥ 交 于 ，过 作 ⊥ 交 于 ，连结 .

则：∠ 就是平面 与平面 二面角的平面角.（图15）

证明：∵ ⊥ ， 平面 ，∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ∴ ⊥平面 ，即  

     是平面 的面垂线，又∵ ⊥ ∴ 是平面 斜线，则 是斜线 在平面 上的投影。∴∠ 就是平面 与平面 二面角（二面角 － － ）的平面角.

注意：面面角的范围是 。

 

四、重要公式补充：

立体几何解题的难点是作图，尤其是要把“二面角”的“平面角”作出来，才能进行证明和计算，这里的主要困难又是怎样作有关平面的“面垂线”。那么，能不能回避作图，尤其是回避作“面垂线”，而通过计算，直接求出“二面角”、“线面角”的值，“点到平面的距离”？为此，补充有关公式如下：

在四面体 中，已知：∠ ＝ ，∠ ＝ ，∠ ＝ .

 

（ 、 是棱 相邻的“面角”， 是棱 相对的“面角”）

1、若以 为棱的二面角 为： （如图1），

则： .

2、若斜线 与平面 的夹角为： （如图2），

则： .

3、若 点到平面 的距离为： （如图2），

则： .

 

五、常用平面几何知识：

1．直角三角形：

①a²+b²=c²（勾股定理）。②ab=ch（两倍三角形面积）。

③a²=xc（射影定理）。④锐角三角形函数。

⑤等腰直角三角形和一个角是30º的直角三角形的边角计算。

2．等腰三角形，如有等腰三角形，常作底边上的高。

3．三角形中位线，中点是常见条件，作三角形的中位线是常用的辅助线。

4．三角形面积公式：

                             

 

5．正弦定理：

6．余弦定理：

7．全等三角形性质定理、判定定理。   

8．相似三角形性质定理、判定定理。

（注：本讲义只讨论多面体的情况，对于旋转体：球、圆柱、圆锥、圆台等都没有进行论述。）

（完）