正弦函数的性质教学设计

西安市第五十五中学   张红梅

一、  教学目标：

1、    知识与技能

(1)熟练五点法画正弦函数的图像；

（2）利用图像进一步研究和理解正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性、对称性；

（3）能熟练运用正弦函数的性质解决相关问题，感受数形结合的思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。

2、    过程与方法

通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。体验数形结合。

3、    情感态度与价值观

通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点

重点: 正弦函数的性质，重点是单调性和最值。

难点: 正弦函数的性质应用。

三、学法与教学用具

在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。

教学用具:投影机、三角板

四、教学过程

（一）【创设情境，引入新课】

同学们，在上一节课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，通常我们采用什么方法画正弦函数的图像？（学生活动：学生思考，并回答：五点法）

教师继续提出是哪五个点呢？先利用五点法作出正弦函数y＝sinx在区间 上的图像，再利用“终边相同的角的三角函数值相等”的性质得到正弦函数y＝sinx在R上图像，通过左、右平行移动，每次平移2p个单位长度，今天我们就利用图像研究正弦函数的性质。引入新课

在必修一的学习中我们知道研究函数的性质时，主要从哪个角度来研究

（学生活动：有一名学生回答，定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性）教师补充：前面学到的周期性。

（二）【师生互动，探究新知】

 

x

6p

y

o

-p

-1

2p

3p

4p

5p

-2p

-3p

4p

1

p

让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：

 

 

 

 

（1）       正弦函数的定义域是什么？

（2）       正弦函数的值域是什么？

（3）       它的最值情况如何？

（4）       它的单调性如何分？

（5）       它的对称性呢？周期性呢？

师生一起归纳得出：

1．      定义域：y=sinx的定义域为R

2．       值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）

   再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值域为[-1，1]

3．最值：1°对于y＝sinx  当且仅当x＝2kp＋  ,kÎZ时 y_max＝1

当且仅当时x＝2kp－ , kÎZ时 y_min＝－1

2°当2kp＜x＜(2k+1)p  (kÎZ)时 y＝sinx＞0

当(2k-1)p＜x＜2kp  (kÎZ)时 y＝sinx＜0

（学生活动：思考为什么用2kp＋ 来表示函数取最大值时的x值，因为函数取最大值时，x可取 ， 等等故取代表性的离坐标轴近的，如果一样近，优先考虑正值，然后再加周期2kp。让学生轻松地解决了疑虑，在后面的表示中会感受到成功的喜悦）

4．周期性：（观察图象） 1°正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2°规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kÎZ重复出现）

3°这个规律由诱导公式sin(2kp＋x)＝sinx也可以说明

结论：y＝sinx的最小正周期为2p  

5.奇偶性

（1）从解析式角度看：对于任意的 都有

sin(－x)＝－sinx  (x∈R)                y＝sinx  (x∈R)是奇函数

（2）从图像角度看：图像关于原点对称             y＝sinx  (x∈R)是奇函数

（学生活动：让学生思考如何判断函数的奇偶性，并由一名学生代表说明正弦函数的奇偶性）

6．单调性

（学生活动：教师出示讨论提纲，

学生分组交流讨论正弦函数的单调性，并交流自己的想法及疑问，尤其是单调区间的表示）

教师设计的小组交流提纲为：

 （1）、正弦函数在定义域上是单调函数吗？

 （2）、正弦函数在定义域上如果不是单调函数，在哪个区间上单调，如果是单调函数，写出它的单调区间。

讨论的结果为：增区间为[－ ＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；

减区间为[＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。

 7、对称性

   （学生活动 学生观察图像，发现正弦曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，自主思考正弦曲线的对称轴及对称中心，然后，全班交流）

对称轴：直线x＝ + kp, kÎZ

对称中心：（kp，0），kÎZ

（三）【知识迁移，拓展应用】

例1：设sinx=t-3，x∈R，求t的取值范围。（设计的意图：利用函数的最值来解决问题，将sinx当做一个整体，满足 ）

分析：由 ，并且sinx=t-3则 故

所以t的取值范围为

（为了让学生理解掌握最值设置了以下练习，要求学生独立完成）

练习：在实数范围内下列方程是否有解？

（1）2sinx=3；

（2）sin2x=0.5

例2  确定下列函数的最值并求出相应的x值。

（1） y=2sinx

（2）y=sinx+2

（3） y=-sinx

（设计意图，在例1和练习的基础上通过本题掌握最值时的相应x的取值）

例3 求下列函数的单调区间：

(1) y=3sinx+1

解：单调增区间为[－ ＋2kπ， ＋2kπ]

 

单调减区间为[ ＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），

(2) y=2sin(-x )

解：y=2sin(-x ) = -2sinx

函数的单调增区间为

  

 函数的单调减区间为

（设计意图，为了使学生熟练利用图像确定函数单调区间的方法，推线数形结合）

练习

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4                               

解：要使函数有意义必须满足

 

 

 

 

（设计意图：通过本题，考察学生对正弦函数的对称性的理解。

（四）、【反思总结，共同提升】

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

（五）【知识巩固，提升能力】

布置作业：1、作业：习题1—5    3、4、5

    2、思考：

 

    3、预习：余弦函数的图象与性质

 

五、课后反思