自主学习下的“展学、研学”

——从“分数除法”的两堂课辩起

主持人：陈洪杰

辩  课：郑水忠  袁晓萍  徐晓飞  杨开远  邹锦丽 

邵陈标  林良富  沈百军  邱学华  吴光辉 

整  理：杨开远

一、上课教师说课

郑水忠（浙江省宁波万里国际学校）：今天的主题是“展学、研学”。我认为，“展学”即学生充分展示自己的思维历程、学习成果；“研学”即教师在学生“展学”的基础上展开的进一步引导、提升。

就展学而言，我在设计本课时，首先考虑的就是：展示什么？以什么样的形式展示？谁来展示？其路径是多样的。一种是教师在巡视中选择学生展示，这可以把正确的、错误的，一般的、优化的各种材料有效收集，加以展示。另一种就像我今天采用的，展学的人由小组推选，展学的方式由学生自行决定，这种方法更能凸显学生的自主性。这两种方法，在我们日常教学中都在使用。我们的经验是：容易出错的知识点和内容，采用教师巡视推荐学生展学的方式比较好；但对于“分数除以整数”，学生的差异主要表现在思维的完善性和表征方式上，错误率较低。所以，我今天采用的是组内推荐进行展学的方式。

关于研学，学生独立学习或者同伴互助后的学习成果处在“现有发展区”，这时需要教师在这个基础山作进一步引领、提升，达到教材所规定的或者教师设定的学习目标。我今天的课力图在学生充分试学、展学的基础之上，通过整理基本策略、规范学生表达、沟通数形表征、提升算法等，让学生的认知得到进一步提升与发展。

今天上下来，问题在展学环节。小组商量后推选上来的人，回答都是正确的。如果上重建课，如何更好地收集学生的不同思路，如何有效地兼顾学生的学习差异，包括利用学生的错误资源，这是我要思考的。

袁晓萍（浙江省杭州学军小学）：我们的教学是不是要引领孩子经历这样一个过程：先入乎其内，然后沉乎其中，最后出乎其外？所以，我的思考主要是三点：

一是怎样导？这取决于课堂上教师创设的学习环境，其中教学素材的选择是重要的一个方面。比如，人教版使用线段图来帮助学生理解算理，我们的实践表明，这对孩子来说非常抽象。所以今天改成了一种直观的、简单的图形导入，希望能够触发学生的直觉思维、帮助学生理解。

二是怎样展开？既然是自主学习的课堂，就要探索如何建立一种新的课堂秩序。我今天在展学过程中提了三个问题：哪些你想到了，也能看懂，它的依据是什么？哪些你看不懂，你哪里还想提问？哪些方法是相似的？我自己班上的学生，展示完了就讨论这三个问题。因为我的主张是：展示孩子的思路，要“并联”而不是“串联”，只有这样，孩子才能形成整体认知，会用联系的眼光去看各种思路。

三是怎样研？我觉得，求变是为了突出其不变，所以我们应该在研学的过程中，引领孩子去发现多样化方法背后还有相似的地方。在这节课中，我在不断地追问孩子：哪些是相同的？哪些是相似的？你在这里看到了我们所提出的算法了吗？不断引领孩子回头看今天所学和以前所学之间的联系。这节课是小学一步计算研究的终点，除了让学生学会算法、理解算理以外，我还想让孩子初步感觉：小学学习的所有计算，研究的方法、方式，都是有联系的。

我的问题就是还不太敢“放”。在这节课当中，有很多孩子还有其他的思路，比如转化成两个分数是同分母的，还有一部分孩子的方法可能是错误的，我都没有呈现。如果这节课要重构的话，这些资源也应该成为课堂中非常重要的资源。

二、“分数除法”教学中的热点问题

1. 选择怎样的教学素材？

徐晓飞（浙江省宁波高新区梅墟中心小学）：两位老师都关注了学生，在引导、研究上花足了功夫，体现了“展”和“研”。就郑老师的课，在“引学”环节是不是可以创设生活方面的情境，比如4/5张月饼平均分给2个小朋友，让学生主动去画图、去解决问题，可以经历从现实问题到数学化的过程。

郑水忠：徐老师的意思我能明白，其实我当时也考虑过，把情境改为4/5个月饼平均分给2个小朋友，在学习建议中就不需要提示用画图等方法来证明自己的想法，学生自然会去画图。但大家可以想到，这就制约了线段图等其他的方法，这个情境有它优劣的两面性。

杨开远（浙江省宁波万里国际学校）：郑老师这节课在试讲时，我们试过更开放的素材，把“4/5÷ 2”直接抛给学生，让学生自由表征。结果是，学生表征的策略比较单一，学生在讲解表征过程中会均分的比较少。所以我们还是沿用了书本的例题，让学生的表征更多元一些。

邹锦丽（浙江省宁波国家高新区教研室）：课本里用长方形面积的划分演绎4/5÷2，到了六年级，用“数形结合”帮助理解，大部分学生已经接触过，也能够自觉地去理解。但是，今天课上就这么一个素材！我们能否用到别的素材，比如三角形、梯形，甚至立体图，来演绎4/5÷2？这也是考虑到中小衔接。如果能突破教材的束缚更多地查阅一些资料，也去关注学生生活中能见到的素材，我们在课上见到的就不一定只是长方形纸片了。

陈洪杰：我听出来，邹老师的观点是，在六年级，素材的选择还可以考虑中小衔接，以及支撑算理的直观模型可以更多样化。

邵陈标（浙江省宁波是江北区第二实验小学）：袁老师的课非常大气，非常值得我们学习！不过，在课的开始环节有些“不舒服”。袁老师出示了□÷分数，引出6÷3/4，用一幅图来表征了。6÷3/4这个问题和用图表征都是袁老师自己提出来的。但我觉得，袁老师在抛出“一张纸能做多少朵花”时，学生并没有理解；图出示以后，学生的表达也没有归结到“一张纸可以做几朵花”这个问题上。所以，我觉得在引入上，教材中“速度、时间、路程”的素材更好一点。

林良富：人教版教材用了“速度、时间、路程”的问题解决来引入，课本素材的价值在于学生能够很好地列出一个除数是分数的除法式子。因为通过数量关系，学生很明显能列出这个算式。而列出除法算式是有非常大的意义的，这是学生第一次经历除数是分数的算式。但是，教材的弱点在哪里呢？这个行程问题，如果用线段图来表征，算法与算理就不够清晰。袁老师采用了正方形图，用做花朵的情境作为学习素材，学生就容易表征。这个素材的选取是有很明显的特点的，数形结合可以很充分。任何一个素材的选择，它都是有利也有弊的。

杨开远：依托数学博物馆的资源，我们对比了海内外多种教材发现，“分数除以整数”的呈现基本是两种方式：一是通过画图理解算理，凸显分数除以整数可以转化为分数乘整数的倒数这一主线；二是以分子除以分子为主线，通分转化为同分母分数后相除。就学生起点而言，我们之前的教学实践表明，“分数除以整数”中，“分子除以分子、分母不变”这种猜想学生能很好地表征与理解；但“乘以整数的倒数”学生表征起来有一定难度，是这节课的发展点与突破点。

“分数除以分数”的呈现一般有三种方式：一是以行程问题为载体，容易列出算式，但理解算理难度很大；二是以一组包含除的问题解决为载体，借助整数除法的意义进行迁移；第三种就是袁老师采用的，结合“做纸花”问题，数形结合、直观导入，能很好地凸显算理的直观表征并利于交流，但意义理解有难度。第二节课是学生对乘以倒数的深度理解，学生能从图中读出不同分数，能用部分与部分比较，但对份数的对应关系的理解及算理的表达比较困难。

2.怎样更好地建构算理的意义？

林良富：袁老师的课非常注重迁移与沟通。袁老师从课前的引入到课后的回顾，都是从分数乘以整数、分数乘以分数、分数除以整数、分数除以分数入手，试图进行一种沟通和联结。在课堂中呈现六种不同的方法，又引导学生异中求同，也是沟通。不过，我个人觉得，今天的沟通更多是在算法层面，如何使沟通更有意义呢？恐怕要回归到两点：一个是分数的意义，一个是分数乘法的意义。

怎样建构呢？袁老师今天的六种方法里面少了一种方法，其实这种方法是最本质的：（ ）×3/4=6。从图形直观来说，以前学习分数乘法意义，这个图最直观的解释应该是（）×3/4=6。（ ）是单位“1”，整张纸的3/4能做6朵花。下一步是什么？学生根据分数乘法的逆运算列出6÷3/4。再紧接着，根据情境的意义来沟通6÷3/4为什么可以转化成6×4/3。恐怕在教学设计上，6÷3/4和6×4/3两者的意义沟通上还有进一步探讨的空间。

陈洪杰：在我看来，袁老师对怎么会变成“×4/3”还是相当强调的。在探索环节，袁老师让学生在六种算法中找一找有没有“×4/3”的，学生一开始是直接找“4/3”，慢慢的从“6÷3×4”中，从分步列式、画图中也都找到了。这就是学生逐步深入的建构过程。

沈百军（浙江省宁波万里国际学校）：就分数除法算理的理解，至少有两条路径让学生进行更有意义的学习。“做花”的情境出示后，要求“（  ）×3/4=6”中未知的数，可以设它为x，用方程两边同乘4/3得到，这是纯代数的方法。学生可以理解的，也是一种有意义的学习。

第二种就是聚焦图中的空白部分，也有两种思路：一种是要求出整张纸，关键要先求出空白部分。追问学生,“空白部分是什么”，这就看我们分数的意义有没有教好。学生是不是只想到3/4、1/4，还能想到1/3、4/3吗？如果想到了1/3，很好！空白部分怎么求？6的1/3！1/3出来了！——空白部分是涂色部分的1/3。整张纸有这样的4份，就是6×1/3×4。结合起来就是6×4/3。借助直观图，还可以由6÷3/4直接想到6×4/3！为什么？因为涂色部分是整张纸的3/4；倒过来，整张纸就是阴影部分的4/3！所以，今天的教学中，可否让学生重新看这幅图，追问学生可以看到哪些分数，从而以学生对分数意义的理解来支撑“×4/3”的理解？

陈洪杰：谢谢沈老师！沈老师向我们展示了，像今天这个内容，它有一个久远的学习经验、学习经历的支撑。如果我们的目光足够深远，就可以让学生过去的学习服务于今天的学习。

邵陈标：还有一个细节也值得探讨，袁老师课上“3/2÷3/4”情境中的问题有做3/2朵花用了3/4张纸，有什么现实意义吗？分数除以整数、分数除以分数的现实意义在哪里？

陈洪杰：袁老师在引入的时候，就努力想教给学生一种结构，这种结构甚至可以说是教材编排的一种结构。整数除以分数6÷3/4是有一定情景依托的，然后到分数除以分数以后，我觉得其实可以跨过情境：既然可以转化为A÷B（的模型），A、B都可以取整数、分数，产生不同的类型。这是一个有序思维，这个不需要情景！

邵陈标：我理解陈编辑的意思，我觉得算法还可以回归到情景当中去解释，但不要再出现“3/2朵花”。

郑水忠：我不赞同3/2÷3/4还要用情景去解释！我们想一想，让我们老师来解释3/2÷3/4的算理，有多少人解释得清楚；学生当中有几个能解释清楚，就算解释清楚了，其他学生还能听得懂吗？到了这个环节，我建议以数学的逻辑推理，从整数推演出来，我个人觉得可以。

袁晓萍：到了这个部分，慢就是快，少就是多。在这个环节不断让孩子往返沟通，就是让孩子对学习内容有整体感悟，这是非常重要的。仅仅让孩子记住学习的结论是很可悲的，他离数学不是越来越近，而是越来越远。

陈洪杰：理解3/2÷3/4是否可以分层教学？这里有两类：一类是特别好的学生，他很容易陷入机械，反而要他再次表征。画个图给我看，结合例子讲一讲，反而对他们更有挑战性。第二类是水平比较低的，你让他回到情景中解释，是给他一个台阶、一个理解的拐杖。

三、“展学、研学”的热点问题

1.教材的作用和算法多样化的处理。

邱学华（“尝试教学”创始人）：对辩课，我是非常赞同的，前几站的辩课文章，我都看得很仔细。课堂教学应该着重于研究，研究就不是一边倒，应该大家来说话，大家来辩论，我认为“辩课”好，好在这个“辩”。我想抛两个问题：（1）学生展示了、研究了，课本的作用怎么发挥？这两堂课，我都没有看到学生看课本，你们说，课本的作用怎么发挥？（2）现在强调算法多样化，算法的多样化与算法的最优化，怎么统一起来？

郑水忠：教材如何利用？我个人就一直非常矛盾。今天有学生很快说出乘以整数的倒数，肯定课前自学过教材，没有自学过，一般不会直接出现这个猜想。让学生自主探究，学生求异的猜想肯定比教材上的丰富，但当学生看完教材以后，它可能就只出现教材上的思路。看教材的反作用是会制约求异思维，而展学、研学的课堂恰恰很需要学生求异的猜想。

林良富：邱老师提的这问题，跟我们所有数学老师都有关。怎么用数学书本？我们要先明白常态的学习方式有哪些。我觉得，最主要的有这么几种：（1）讲授式接受学习：老师讲、学生听，接受了、理解了；（2）阅读式接受学习：看书，看懂了、理解了；（3）发现学习或体验学习。讲通俗一点，对学生而言，就是“听中学”“书中学”“做中学”。大家最犯难的是：什么时候“书中学”，什么时候“做中学”？我们现在的课堂，基本上把“书中学”给忽视了，这是邱老师最担忧的地方。学生不会利用数学书来学习数学知识，这是一个现象。另一个现象是，老师们担心，学生看了数学书以后，课没办法上。这个观点一定要调整过来！有的内容是可以让学生“书中学”的，以六上数学书为例，位置、分数乘整数（2/11+2/11+2/11=2/11×3,意义单一）、分数乘法结合律、分配律等都可以。分数乘分数（体现学生的多元表征）、分数除以整数（更多不同思维层次学生的不同表征）、分数除以分数等更适合“做中学”。

陈洪杰：林校长为我们提供了一个思考的坐标，大家可以在脑海中想一个X轴、Y轴，X轴是教学内容，Y轴是你想定位的学习方式，XY轴构成不同的象限，就是对课本的不同态度。对算法多样化和优化，大家怎么看？

袁晓萍：关于算法多样化，永远不要把话说死。“乘以倒数”一定就是最好的方法吗？在后面的很多计算里，化成小数的方法也很方便，学生为什么没有想到，就是我们老师话说得太死。永远不要把话说得太死，任何方法都有适合它的、有生命力的环境。

陈洪杰：非常同意！每一种方法都有它的情境性！郑老师课上，我身边的姓蔡的小朋友，做7/10÷4时，还是转化成28/40÷4=7/40。袁老师的课上，也是到练习部分还有学生用小数的方法解读的。算法的优化不要太急，我们要允许多种方法并存，让学生具有根据情境、数据特点选择算法的意识，才是真正的优化。

2.展学、研学的外在保证。

陈洪杰：今天郑老师使用了3块白板，袁老师使用了特意设计的练习纸，两位老师都安排了谈论和展示，为展学和研学服务。对此，大家怎么看？还有什么好方法吗？

袁晓萍：我课上用的最多的是同桌讨论，4人小组讨论也非常少，n年不用8人小组讨论了！我觉得小组人数的量不要那么多，适合学生的表达、适合学生差异资源的调动，这个很重要。另外，小组推选的代表往往是小组内最优的，我们学校英语组老师有一招：6人一组，然后布置一个驱动性的任务，老师掷色子，掷到几就是几号同学来汇报，其他同学的任务就是把自己的观点表达给他，然后让他整理好，代表小组进行整体汇报。这是一个很好的方法，和老师们分享一下。

郑水忠：我要补充一下，小组的设置会受教室物理空间的限制。今天这两个班如果4人为一组，教室都没有地方进出了，不得已！我们在探索的过程中8人小组里面暗含两个组，前4人为一组，后4人为另一组，各设立一名组长。平时教学，我们一方面非常关注是否几个优秀的小先生垄断了课堂、全权代表了小组；另一方面，我们鼓励优秀的小先生培养组内的成员。

吴光辉（浙江省奉化尚田镇中心小学）：我来自奉化农村。我们班级和今天的不一样，我们没有白板，用小纸片贴好放在投影仪上，是今天学到的一招。

邵陈标：我们学校的做法是每个小组一块白板，学生成果正确、错误的可以写上面，然后展示。这样的话每个学生的成果都能展示，学生的差异资源会利用得更好！

陈洪杰：看来，在小组的设置、讨论的安排、资源的展示等方面都有很多精细的活要做。大家分享的经验看似是“外在”的改变，但对真正落实自主学习下的“展学、研学”却是有“内在”的力量的！

 

附：吴光辉、沈百军老师辩课文章。

2012年9月27日，有幸应约参加了《小学数学教师》编辑部和宁波万里国际学校联合举办的“辩课进校园”第八站活动，收获颇多，深有感触，特记。

                                     ——吴光辉于2012年10月30日夜

感受之一：学生真动起来了！

这是与会的专家和老师们最大的感受。从中，大家真切地感受到了“以学论教”理念指导下的真实课堂交流过程所焕发的无穷魅力（不管是郑老师组织开展的小班化前提下的“小先生”引领交流形式还是袁老师展示的大班额前提下的“集中反馈”式交流方式）：学生的学习热情是高涨的，学生的互动是积极主动的，课堂教学效果自然也是不错的。

感受之二：学生真的没有困惑了吗？

因为笔者没有像平时听课那样走到学生中间去近距离观察（只能由陈编和林特等代劳啦，呵呵），但从后续辩课环节中陈编和执教者的反馈信息来看，还是说明了学生中有一部分在学习中是遇到了不同程度的困惑的，有些选用的算法还是不尽如意的（据陈编反馈：还是有几个孩子是一直用“转化成小数除法来完成分数除以整数的”【陈编拍的课堂照片见：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6d0aaf590101f6vs.html】）。究其原因，也许有一部分学生在看到大多数同学都认同很有水平的“小先生”们的讲解情形下，或因受到一时的“感染”，使他们的思维在瞬间获得启示而“理解”（至少是暂时认为没错）；也或因受到同伴的启发而由原先的“不太懂”转变成了“真懂”。但根据以往的实践经验来看，总不可避免的会出现一部分学生一旦在脱离这样的集体学习氛围的情况下，瞬间又出现了“遗忘”，以至于独立作业时还是停留于“原先的经验”水平，还是按其自己习惯的思路和方法“执行”，甚至直接导致解决诸如“6/7÷4=（）/（）×1/4”填空时出现结果是“7/6×1/4”的错误情况。可见，从口头即兴“说”到算理的真正“懂”，或是从事实性知识掌握到转化为独立计算技能之间往往还是存在着一定的距离的（尤其是部分学困生）。这就要求执教老师能通过课堂上的巡视去深入了解，及时洞察到这部分学生的学习现状与困惑，进而作出必要的调整，使那些暂时处于“似是而非”状态中的学困生们也能有一个“补救学习”的机会。从大家在辩课环节所形成的共识可以确定：“如何让学生更自信地在课堂上暴露出自己学习过程中的困惑？”、“如何让这些课堂中产生的宝贵的错误资源发挥其应有的价值？”等必将成为今后继续深入探讨的话题。

对此，笔者建议：开始阶段，如果学生不愿主动暴露自己的困惑，为了保护他们的学习自尊心，不妨暂时采用“教师补充”介入的方式予以过渡。是否可以结合教师以往教学经验或通过课前的前测收集到的错误资源，由教师主动提供困惑材料“引导”学生加以关注、发表意见或提出自己的合理建议，使学生（尤其理解尚不到位的那部分学生）也能在“评析别人的学习中得到更好的发展”（邱老师语）；日常教学中，教师应经常性地抓住这样的机会，引导学生逐步认同“勇于将自己在学习中遇到的困惑说出来供大家讨论交流也是一种非常重要的学习品质”、“课堂是允许出错的地方”等观点，帮学生逐步卸下“不敢说”的心理包袱。一旦时机成熟，就应该大胆鼓励，付诸行动。只有当学生能够在课堂学习中做到坦然地将自己的学习困惑“暴露”并成为一种常态时，这样的课堂才可以真正称得上是体现“以学论教”的课堂，才有可能真正达到邱老师所期盼的那种“让100%学生达标”的理想课堂。如果仅有正确的、多样化的学习成果呈现而“忽略”了学生中存在的真实错误（极个别除外），即使这些“精彩呈现”全部是由学生自主完成的，也是不尽人意的，至少与“以学论教”的本意尚有差距。

感受之三：怎样创设合理的“最近发展区”？

辩课过程中，袁老师向郑老师提出了一个问题：“为什么选择‘分数乘整数的计算’作为课始准备学习材料？”我在这里先斗胆猜想：是不是袁老师更想知道“为什么不选用‘分数乘法的意义’作为导入材料更贴近本课学习内容？”因为郑老师在后续的试学和研学环节中是非常强调“转化为分数乘法”这一基本算法的（这一点从郑老师优化算法环节就有体现，从他辩课环节中自己的相关说明也可证实）。粗看，似乎郑老师更应该从“分数乘法的意义”切入，这样更有利于“最近发展区”的创设。但如果仔细回顾整节课的设计思路，我们不难发现郑老师的教学设计思路是从“猜想”出发，然后借助“分数乘法的计算”这一学习经验展开的。这就意味着本节课的学习是以发现性、操作性为基本特征的，如果采用“分数乘法的意义”切入方式，则很容易对学生的学习思维产生暗示或“限制”，就会与其设计初衷相悖。况且，从学生学习心理来说，遇到“分数除法”这一新任务时更容易与其学习过的“分数乘法”这一“计算方面”的经验直接“挂钩”，而“分数乘法的意义”从问题解决的知识支撑来看好像更有价值，但这往往是我们成人化思维的“一厢情愿”。因此，在考虑“最近发展区”的创设时，是以注重知识间的联系为取向还是以关注学生的学习思维特点为取向，两者之间的平衡如何把握等，都是值得我们进一步思考的问题。

感受之四：学习素材如何取舍？

《分数除以分数》这一学习内容有两个“公认”的难点：一是列式困难，二是算理、算法探究困难。前者源于学生首次接触此类知识，很难厘清它的数量关系，如果没有教师的引导，很多学生不能顺利列出诸如“6÷3/4”这类算式，更别说“3/2÷3/4”这种更陌生的算式了！老师在处理时一般都是采用先引导出“（）的3/4是6”，据此得出“（）×3/4=6”予以过渡，再根据“一般一个乘法算式可以得到两个相应的除法算式”的经验来推导出“6÷3/4”这一除法算式，从而引出本课学习内容。也许教材正是考虑到学生普遍难以自主厘清这一数量关系的现实，为了降低列式难度以便腾出更多的算理、算法探究时间，采用学生相对熟悉的“路程问题”作为学习素材，其意图是很明显的。但这一素材相对于算理、算法的探究来说，又显得比较抽象，不利于过程的清晰展现。袁老师改编了这一学习素材，采用了以前浙教版选用的“3/4张纸做了6朵纸花”为进一步展开学习探究的素材，其优点是便于借用数形结合思想，利用直观教学来引发学生的思维，拓宽学生的思路，沟通各种算法与图示之间、各种算法之间的本质联系，甚至不用通过计算凭直觉接就可以得到问题解决的最终结果：“已有的3/4张上的6朵”很容易直接看出“1/4朵上有2朵”，一共该有8朵（很多听课者一看到图示就有这种感觉，相信学生也会有同感，只是这6朵花若用动态按1/4为单位呈现更合理）。两种学习素材似乎各有利弊，怎样取舍合理，我觉得应该取决于执教者对本节课的目标定位方向（实践证明本课时间往往会不够用，两者常常很难兼顾）：如果重在算理、算法的探究，则宜选用“纸花”素材，先借助“（）的3/4是6”来引出除法算式“6÷3/4”，再进一步展开探究的方式。反之，则宜另谋。另外，上一节课“4/5÷2=4/5×1/2”的经验可以直接借鉴或迁移吗？它的利弊又有哪些？这都可以讨论。 

 

从算法掌握向意义建构进发

宁波国家高新区外国语学校   沈百军

9月27日，由《小学数学教师》杂志社策划的“辩课进校园”第八站走进宁波万里国际学校，在环境优雅别致的小学数学教育博物馆内举行。上午，宁波市名师郑水忠和浙江省特级教师袁晓萍依据“以学定教、自主学习”的理念联袂执教了《分数除以整数》和《分数除以分数》，然后进行别开生面的辩课；下午，小学数学教师副主编陈洪杰和著名教育专家邱学华先生分别作专题报告。短短的一天时间，紧张而充实。观摩名师的课堂、欣赏学生的精彩、倾听一线教师的心声、分享各方专家的观点，思绪激荡、灵感放飞，很有一吐为快的冲动，欣然提笔写下自己的观感。

郑水忠老师的《分数除以分数》这节课最为突出的亮点是“自主”。郑老师利用分数除以整数导入，让学生猜测分数除以整数可能的方法，然后抛出问题情境：一张纸的4/5平均分成两份，每份是多少？学生独立画图尝试解决，经小组内交流后推荐8位学生在白板上展示各自的方法（如下图），再由展示的同学当小先生进行讲解和互动质疑，教师适时引导并提炼两种基本方法（一是分子除以整数，二是分数乘以整数的倒数），接着顺着学生提出的问题4/5÷3，让学生再次画图尝试，再展示交流，最后达成共识：分数除以整数就是分数乘以整数的倒数。最后花6分钟时间进行当堂巩固练习并借助实际情境提出下一节的学习内容——分数除以分数。整节课上，学生有充分的时间进行自主尝试、小组讨论、白板展示和讲解，累计用时约26分钟，再加上5分钟的独立巩固练习，一节课中的大部分时间是学生在学习，是一节真正学生学为中心的好课。特别是小先生落落大方、有条不紊地讲解自己的思路和解题方法时，让许多听课的老师由衷赞叹——学生讲得真好！学生的能力真强！

袁晓萍老师的《分数除以分数》这节课的优点在于组织。面对陌生的近40位学生，袁老师用了“同学们好，宁波的同学们好，宁波万里小学的同学们好，宁波万里小学606班的同学们好”四个问好和一番表扬激励的话拉近了师生之间关系，打开学生求学的心理倾向。接着袁老师带着学生回顾已经学习过的分数乘除运算，提出今天的学习内容，借助直观的图示进行计算6÷3/4的猜想，紧接着引导学生尝试不同方法进行验证，然后有选择地展示学生的不同验证方法，用“这些方法你看懂了吗？还有什么问题？这些方法有什么相似之处？”等启发性的问题引导学生观察比较和归纳，再借助变化的情景引出3/2÷3/4，引导学生借助前面的学习进行推理和验证。最后通过回顾学习过程、反思这些算式和算法的变与不变寻找共性、达成共识。整节课如行云流水，非常的清晰和流畅，加上袁老师入木三分的激励性评价，让学生始终处于积极的学习状态，达到了良好的学习效果。

两节课各有所长，但有一点是相同的，那就是都关注学生学的过程，这也折射出教师的观念已经从“关注学生是否会算”向“关注学生如何学会”转变，课堂发生了很大的变化，学生不再是简单的算法掌握、技能训练，而是借助已有的知识和经验主动地探索算理、形成方法，学生经历了一个比较完整并具有创造性的学习活动过程，这个过程本身就是一种很好的学习，所积累的活动经验和思维碰撞也许是学生后继学习和生活的宝贵财富。

当然，这两节课也引发了我许多的思考。

第一，我们该如何处理教材？

郑水忠老师依据教材的素材放手让学生自主探索4/5÷2，由于本身不是很难，学生的自主学习能力较强，既有多样化的尝试展示，也有共性的归纳提炼，课堂的效果很好。袁老师则改变了教材，不但内容变了，呈现的方式也发生了变化。这是为什么呢？原因只有一个，为了学生好学。从课堂上学生的表现来看袁老师的教材处理是比较成功的。但我们要追问的是，这样的改变是否达到或者超越了教材？人教版教材编排的是“小明2/3小时行驶2千米，求小明每小时行驶多少千米？”这样一个情境。由于学生在前面的学习中已经比较好地掌握了路程、速度、时间三者的关系，所以列式没有太大的困难，但要学生根据这样的情境画图来表征1小时行驶的路程着实有点难度，而且受到行程问题本身的制约，画图表征的方式也比较单一，多数为线段图。因而不利于学生自主探究算理和算法。老师们比较倾向的素材是原先浙教版中的问题情境：一张纸的3/4做了6朵花，一张纸可以做多少朵花？实际教学中发现，这个素材有利于学生探索6÷3/4如何算、为什么可以这样算。但也有一个难点，多数学生想不到列出“6÷3/4”这个分数除法算式。因为这个问题情境中的数量关系不明显，学生是首次遇到这类问题。所以袁老师在引导学生列出6÷3/4时没有花多大的时间，教师导的成分比较明显，实际上是绕过了一个难点。我所思考的是，这个难点这样轻易的绕过去了，课堂流畅了，任务完成了，能表明很完美吗？

让我们回到原点，看到“一个数除以分数”这样一个课题，会想到哪些基本的问题？我个人认为必须思考两个基本问题：为什么要列除法算式？这样的除法算式如何计算，为什么可以这样算？毕竟它是该内容的起始课，意义的理解有助于学生更好地解决相关的实际问题。基于这样的认识，我个人更加倾向于直面问题，基于学生的学习问题展开有意义的建构。

首先设置问题情境：一张纸的3/4做了6朵花，这张纸一共可以做多少朵花？放手让学生列式解答。根据我们多次实践的经验，多数学生会列出“3/4÷6”，也会有部分学生列出“6÷3/4”。两种不同的生成性资源正好是开展进一步学习的最佳教学资源，可以引导学生采用画图、方程等不同形式进行辨析和讨论，沟通分数乘法意义，最后达成共识，应该是“6÷3/4”。这样就解决了第一个基本问题，为什么要列除法算式，其实是分数乘以整数运算的逆运算。

其次是探索如何计算，为什么可以转化为乘法计算？一种方法可以借助方程来纯数学的推理：假设一张纸一共可以做 朵，那么由题意可以得到3/4x=6后利用方程的同解原理，两边同乘4/3，可得正确结果。第二种是借助直观图进行意义的理解和沟通，让学生明白算理（如右图）。

要求一张纸一共做多少朵，关键是要计算出每一份能做多少朵？而每一份正好是涂色部分（一张纸的3/4）的1/3，可以用6×1/3来计算，再乘以总份数4就可以了。把这两步合起来就是6×4/3。当然借助直观图，学生还可以这么想：要求整张纸可以做多少朵，先计算空白的1/4张纸可以做多少朵？由于空白部分是涂色部分的1/3，所以可以用6×1/3来解决，再加上原来的6，通过演算后可以转化为6×4/3。如果学生对分数意义的理解十分到位，那么不仅可以看到涂色部分是整张纸的3/4，也能看到整张纸是涂色部分的4/3，就直接可以用6×4/3来表示要计算的结果，借助情景来沟通算法。

这样把本节课的重心放在两个关键点上，一是理解为什么要列除法算式，二是探索怎样计算、明白其中的算理。也许学生训练计算技能的时间会不足，但学生能真正理解分数除法算式的意义和算理，而且学生经历的是两次深层次的探索活动，应该是值得的。毕竟分数乘除法的计算是小学阶段比较容易掌握的技能，稍加训练就可以达标。由此，我们也不难发现，处理教材应有基本的准测：尊重教材，能很好地体现教材的意图；尊重学生，能根据学生学的实际处理教材；超越教材，教师作为教材的两度开发者，能站在学生的视角大胆处理教材，设计出适合学生学的内容和环节，同时又能很好地实现并超越教材原先的编排意图。

第二，我们如何基于儿童的认知组织教学？

两节课上有一个相同的现象，郑老师的课中学生尝试解决4/5÷2时有两种基本方法，一种是分数乘以整数的倒数，一种是分子除以整数，到第二次尝试解决4/5÷3时，多数采用了前者，但依然有学生采用了后者，由于不能直接除，学生还想到了把4/5分子分母同乘以3，不少学生还画图进行了表征。但郑老师快速地引导学生归纳出分数除以整数的一般方法——就是乘以整数的倒数。同样在袁老师的课上，学生在猜想6÷3/4时，也有两种思路，一是乘以分数的倒数，另一种把6转化为24/4，再用分子除以分子，分母除以分母；袁老师重点关注的是第一种猜想的验证，对后者几乎没有花时间。由此我们可以看到执教者的主导思想是让学生理解和掌握一般方法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。那么来自于学生的分子除以分子、分母除以分母的方法不是一种好方法吗？为什么要舍弃呢？

劈开具体的情景，从纯数学计算的角度来思考，除法是乘法的逆运算，分数除法也是分数乘法的逆运算。学生已经非常熟练地掌握分数乘以整数是用分子乘以整数来计算，分数乘以分数是用分子相乘作分子，分母相乘作分母，自然想到分数除以整数用分子除以整数，分数除以分数就用分子相除作分子、分母相除作分母。这一点可以从两节课和活动前的多次试教中得到验证。由于很多课都在关注和研究如何让学生理解除以一个数就是乘以这个数的倒数，反而忽视了学生最原生态的思考方法。关键是当遇到不能直接除尽时该如何处理？我们欣喜地发现，学生是具有创造力的，她们想到了把被除数的分子、分母同时扩大到可以除尽为止，这种借助已有知识解决新问题的能力不正是我们需要努力培养的吗，可惜这种探究的思路没有在分数除以分数中进一步尝试。其实，这种思路不仅能解决分数除法，而且为学生理解为什么分数除法可以转化为分数乘法提供了很好的证明过程。

根据上述的分析，我们可以重新思考这两节课的教学策略，基于学生已有的计算能力和原生态的思考方式，用系统的观点从纯计算的视角来组织教学。第一节课可以借助直观的图示或情景放手让学生探索分数除以整数的计算方法，保留两种方法，不做导向性的比较和归纳。第二节课直接抛出计算问题，也放手让学生自己想办法探索计算方法，理解每一步变化的依据，最后进行两种方法的沟通和融合。由于两节课是前后连贯的，学生在尝试解决一个数除以分数时不难想到前一节课的两种方法。因此，探索的过程和方法会更加的丰富多样，学生在探索过程中的思维含量也会更高，尤其是最后两者能贯通，让学生顿悟，其效果是非常好的。

第三，我们期待怎样的数学课堂？

有许多老师会说，分数除法作为运算是非常简单的，没有必要花那么长的时间去研究。如果仅从技能形成的角度来审视，郑老师和袁老师这样费尽心思让学生花大量的时间去探究、去验证的确有点得不偿失，但数学课堂仅仅是为了训练技能而丢弃必要的探究活动显然是不吻合当下我们对数学课堂的认识和期待的。学习数学的本质并不是背概念、会计算，而是提高素养。而素养的提高除了做题形成技能，还需要经历大量的探索和实践活动，尤其重要的是活动过程中的数学思考。因此，我们所希望的小学数学课堂应该是生动活泼和富有个性的，学生主动参与、积极思考并大胆交流，学生既能经历充分的数学活动，又能获得必要的知识和技能，而且在活动过程中逐步积累必要的活动经验、形成良好的学习习惯和思维方式。当然，课堂不可能是千篇一律的，会随着内容的不同、对象的不同和执教者的不同而呈现不同的形式。我个人觉得，当下我们更应该在以下几个方面有所突破。

首先，学生学为主的课堂。这一点，郑水忠老师给了我们很好的示范。邱学华老师在下午的报告中充分肯定了郑老师的课是一节很好的学生自主的数学课，最显著的标致是教师在课堂上讲的时间只有9分钟，其余的31分钟都还给了学生。可贵的是，学生自主的31分钟并没有像很多文章所批判的那种“自由散漫无实效”的自主。学生自主尝试、分类展示、大胆讲解、互相质疑和独立练习，每一环节都很好地展示了学生良好的精神状态和出色的综合素质。史宁中先生在第二届中国小学数学教育峰会上讲到，一节课别讲太多，多了孩子弄不清什么重要什么不重要，……，一节课，无论如何，10分钟就可以讲完，顶多15分钟。教师一定要精而又精地想好这10分钟，在孩子精力最集中的时候把内容都讲完。联系两位大家的讲话和郑老师的课堂，我们深信，只有减少教师在课堂上讲的时间，才能把时间还给学生，才能保证学生学为主的课堂。实践已经证明，教师少讲、学生多学是可以实现的，关键是一线教师要往这个方向努力，不断提高自身精讲的水平、提高学生多学的实效。

其次，学生积极思考的课堂。数学是思维的体操。学习数学提升素养，这个素养的核心应该是思维能力。因此，老师们要时时刻刻想这样一个问题，那就是如何让学生在课堂上处于思考之中。就分数除法而言，学生一旦掌握了算法——一个数除以分数就是乘以这个分数的倒数，那么接下去的只是技能训练而已，学生不再有深刻的思考了，这正如华师大李士琦教授所说的“孰能生笨”。但当学生还不知道具体的算法时，遇到4/5÷3，她就要想办法解决，无论是画图还是通分，不管是正确还是错误，都在努力地想用已有的知识解决新的问题。这个过程本身就是一种很好的学习。袁老师的课堂放手让学生想办法验证6÷3/4=6×4/3，接着展示不同学生的不同方法，并提出了想关联的几个问题：这些方法你看懂了吗？还有什么问题？这些方法有什么相似之处？哪些方法可以看到6×4/3的痕迹？启发学生观察、思考和交流。从独立验证到观察比较和交流，整个过程学生都处于积极思考的状态之中。因此，类似这样的探究活动和学习过程都是有价值的，值得花时间的。《数学课程标准（2011年版）解读》第70页这样表述：数学思考是数学教学中最有价值的行为，提醒模仿，类型强化，技能操练固然在教学中需要去做，但如果这些措施离开了数学思考，也只能是无效行为。有思考才会有问题，才会有反思，才会有思想，才能真正感悟到数学的本质和价值，也才能在创新意识上得到发展。

让我们一起努力创造理想的小学数学课堂！