% 下面这一段展示了 带编号公式的使用  \begin{equation} ..... \end{equation}

例1：

\begin{equation}\label{eq1.2.1}

  {}_a D^{-n}_t u(t)=\frac{1}{(n-1)!}\int^t_a(t-\varepsilon)^{n-1}u(\xi)\,\mathrm{d}\xi.

\end{equation}

将~\eqref{eq1.2.1}~推广到非整数情形, 并使用~Gamma~函数可给出如下左~Riemann-Liouville~分

数阶积分的定义.

% 下面展示了公式的推导过程；等号对齐，用 \aline  和 符号 “&” 实现 ，但是这个公式推导过程不带公式的编号的

例2：

\begin{align*}

  {}_a D^{-\mu}_t(t-a)^\nu&=\frac{(t-a)^{\nu+\mu}}{\Gamma(\mu)}\int^1_0

                            (1-\tau)^{\mu-1}\tau^{\nu}\,\mathrm{d}\tau\\

                          &=\frac{(t-a)^{\nu+\mu}}{\Gamma(\mu))}B(\mu,\nu+1)\\

                          &=\frac{\Gamma(\nu+1)(t-a)^{\nu+\mu}}{\Gamma(\nu+\mu+1)}.

\end{align*}

% 这是 例1和例2的综合：命题里面嵌套公式、证明 过程。

例3： 

\begin{mingti}\label{mingti1.2.1}

  左~Riemann-Liouville~积分算子是可以互换的, 即

  \begin{equation}\label{eq1.2.4}

    {}_a D^{-\mu}_t {}_a D^{-\nu}_t u(t)={}_a D^{-\mu-\nu}_tu(t),\quad\forall\mu,\nu>0.

  \end{equation}

  \begin{proof}[\hspace{2em}证明]

    根据定义并交换积分次序, 有

    \begin{align*}

      {}_aD^{-mu}_t{}_aD^{-nu}_tu(t)&=\frac{1}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int^t_a(t-\tau)^{\mu-1}\int^\tau_a(\tau-s)^{\nu-1}u(s)\,\mathrm{d}s\mathrm{d}\tau\\

                                    &=\frac{1}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int^t_au(s)\int^t_a(t-\tau)^{\mu-1}(\tau-s)^{\nu-1}\,\mathrm{d}\tau\mathrm{d}s.

    \end{align*}

    对内部积分可作变量替换~$\xi=(\tau-s)/(t-s)$, 因此

    \begin{align*}

      {}_aD^{-\mu}_t{}_aD^{-\nu}_tu(t)&=\frac{1}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int^t_a(t-s)^{\mu+\nu+1}u(s)\int^1_0(1-\xi)^{\mu-1}\xi^{\nu-1}\,\mathrm{d}\xi\mathrm{d}s\\

                                      &=\frac{B(\mu,\nu)}{\Gamma(\mu)\Gamma(\nu)}\int^t_a(t-s)^{\mu+\nu-1}u(s)\,\mathrm{d}s\\

                                      &={}_aD^{-\mu-\nu}_tu(t).\qedhere

    \end{align*}

  \end{proof}

\end{mingti}

% 应用 \gather 捆绑一组等式

例4：

\begin{mingti}\label{mingti1.2.17}

  令~$u(t)\in C^m[0,T]$, $T>0$, 则

  $$D^\mu_*u(t)=D^{\mu_n}_*\cdots D^{\mu_2}_*D^{\mu_1}_*u(t), \quad t\in[0,T],$$

  以上~$\mu=\sum^n_{i=1}\mu_i$, $\mu_i\in(0,1]$, $m-1\leq \mu

  并且存在~$i_k

\end{mingti}

\begin{proof}[证明]

  应用命题~\ref{mingti1.2.16}~及~$\mu_n+\mu_{n-1}+\cdots+\mu_{i_{m-1}}<1$, 可得

  \begin{gather*}

    D^{\mu_{i_1}}_*\cdots D^{\mu_1}_*u(t)=u'(t),\\

    D^{\mu_{i_2}}_*\cdots D^{\mu_{i_1}+1}_*u'(t)=u''(t),\\

    \cdots\cdots\\

    D^{\mu_{i_{m-1}}}_*\cdots D^{\mu_{i_{m-2}+1}}u^{(m-2)}(t)=u^{(m-1)}(t),\\

    D^{\mu_n}_*\cdots D^{\mu_{i_{m-1}+1}}_*u^{(m-1)}(t)=D^{\mu-(m-1)}_*u^{(m-1)}(t)={}_0D^{-(m-\mu)}_t u^{(m)}(t)=D^{\mu}_*u(t).\qedhere

  \end{gather*}

\end{proof}

% 公式差不多为分段函数，需要用 \begin{case}  ....   \end{case}

例5：

\begin{equation}\label{eq1.2.26}

  \begin{cases}

    {}_0D^\mu_t u(t)=f(u(t),t),& n-1\leq \mu0,\\

    \left[{}_0D^{\mu-k}_t u(t)\right]_{t=0}=u^k_0,& k=1,2,\cdots,n,

  \end{cases}

\end{equation}