两本可以互补的同名书——《费马大定理》

    这篇书评多少是有点奉命而作，所以一边看这本新出炉刚到手的《费马大定理》（阿米尔·艾克塞尔著，左平译，上海科技文献出版社2008年6月第一版，以下简称“艾书”），一边又分心在想，写个什么题目好呢？同时把1998年2月上海译文社出版、西蒙·辛格著、薛密译的那本《费马大定理》（以下简称“辛书”）也搁在座右，以备随时对照查阅，兴许可从对照中寻出些宜于发挥的意思来吧。

艾书比较薄，读未过半，我脑子里有个题目了：“新不一定好”，因为我感觉艾书明显不如十年前的辛书好。其实这两本书的英文原版，问世次序正好相反，艾书在前，1996年，辛书在后，1997年；距离怀尔斯（Andrew Wiles）1995年正式发表他那两篇证明费马大定理的辉煌论文，都不过一、二年，在向公众全面传达和反映这一具有里程碑意义的数学史重要事件上，都堪称及时。然而在艾书疙疙瘩瘩、不时有不通字句挡路的译文中继续耐心地前行，我渐渐放弃了去计较优劣的想法；我发现艾书在某些历史事实和数学事实的叙述上，比较具体，比较确切，可以对流畅好读的辛书，起一种补充的作用。例如据辛书，怀尔斯是通过证出谷山-志村猜想，从而证出费马大定理的；然而据艾书，怀尔斯证出的，只是一部分的谷山-志村猜想，该猜想说的是“有理数域上的所有椭圆曲线都可以模形式化”，怀尔斯证出的则是“半稳定的椭圆曲线可以模形式化”。当然，这一部分对于推出费马大定理已经足够了。这里显然是艾书更加准确。至于全部谷山-志村猜想的证明，是后来由怀尔斯的学生泰勒（Richard Taylor）等人进一步运用怀尔斯的方法完成的，发表于1998年，此乃后话，故艾、辛二书均未及。又例如，谷山-志村猜想的提出，经历了一个长过程，需要就许多个例作艰苦的计算，先是谷山为主，谷山1958年自杀后，志村继续进行，于1965年正式提出此猜想；其间还牵涉两位法国数学家韦依和塞尔，猜想的冠名者故也常有韦依，但韦依似乎又不相信、甚至有点瞧不起这个猜想。过程中有些扑朔迷离的情节，辛书不及，艾书有所提示。

总之，这两本书都可读，合起来读则更佳。

三十年前，有篇风靡一时的报告文学——《哥德巴赫猜想》，也是讲数论上的一个世界难题，特别表彰我国数学家陈景润的贡献。意外的是，这篇文学杰作竟引得许多不懂数学的好事者自以为是地去打“攻坚战”。我当时在报社工作，就收到过数不清的自投稿，堆在案头有一大叠，都宣称自己证明了哥德巴赫猜想。鉴于这类情况， 苏步青先生曾批评那篇文章“影响极坏”。数学是理智的事业，文学是激情的产物，以激情宣传理智，理智只被动受表扬，不主动起作用，就免不了被激情所淹没。罗素先生有句名言：“理想的生活，是激情所鼓动、理智所引领的生活。”眼前这两本同名书《费马大定理》，所刻画的正是这种理想生活的一个典型。与报告文学《哥德巴赫猜想》全然不同，它们的写作，也是理智引领着激情，而不是激情只为着宣传理智。它们不会迷惑读者，不会引得读者妄想从中去学得有关费马大定理的数学，但是它们确实能使读者对数学上所谓“世界难题”的性质、对数学事业的性质、对数学事业上成功和荣誉的性质，获得若干真切的认知和感受。

三个半世纪以前，被后人称为“业余数学家之王”的费马（那时还没有职业数学家）提出一个定理：当n为大于2的整数时，方程Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ没有整数解。题意非常简单，连小学生都看得懂。但是它却挫败了多少数学家企图证明它的努力。关于“费马大定理”的历史，人们已经讲得够多了，欧拉、勒让德、狄里克雷、热尔曼、库默尔、戴德金，每一个名字都标志着某种进展，同时却也标志着当前站点与最终解决之间距离的加大，越进展，目标越远，因为越进展，对问题本身困难性的意识越明确、越强烈。

数论上那些题意简单的“世界难题”的困难性，植根于数学最深处的统一性。数学是“发明”，因为数学概念完全是人类理智的创造物；数学又是“发现”，因为不同数学概念之间的联系，当着诸概念创造出来之际，已经存在了，只是暂时还不知。数学上深刻的工作，常常是那些能够把不同的概念、不同的领域联系起来的“发现”。当然，要“发现联系”，得先有可以联系的对象。号称“数学家之王”的高斯不愿意从事费马大定理，理由很简单：“它是一个孤立的问题！”高斯的直觉实在厉害、实在精准。高斯的时代，能够导致费马大定理得到证明的“联系”根本不可能建立，因为“联系”所要联系的那些数学领域还根本不存在，高斯深刻地意识到：单单在数论这一孤立的领域里，费马问题是不可能得到解决的。有人把数学比作海洋上的一个个孤岛；其实孤岛不孤，在海底深处，它们是连成一气统一的。费马问题虽位于数论这座孤岛上，但它的根直贯海底，连通别的许多岛屿。当别的那些岛屿还未露出海面，确切地说，还不存在时，怎么可能掘到它的根呢？

高斯的时代，费马大定理是个孤立的问题，但在现代数学的背景下，它却成了综合性特强的问题，它的最终证明，是现代数学众多领域合作的结果，而不是怀尔斯一人突如其来的斩获。这种合作的性质有点特别，多少体现了数学事业的性质：为最终证明作出不可或缺的实质性贡献的人，除了怀尔斯外，都没有意识到，自己手中正握着最终将触及光辉顶点的接力棒。

获得证明前，费马大定理只是猜想。事实上有过三个猜想：第一，费马猜想；第二，上文提到过的谷山-志村猜想；第三，把费马猜想与谷山-志村猜想联系起来的猜想。谷山-志村猜想极其大胆，例证的计算又异常复杂，很多人认为它是异想天开。这两位日本的数学同志虽然自信颇坚，却未曾梦见一桥飞架，可以从他们的猜想直通费马大定理的终点。架这座飞桥的设想是弗赖（Gerhard Frey）提出来的，他说他能够证明：如果费马猜想错，那么谷山猜想也错，所以只要证明了谷山猜想对，也就证明了费马猜想对。但是“谷山对，则费马也对”这一逻辑蕴涵关系，弗赖其实并未真的“证明”出来，弗赖提出的，也仍然只是猜想。真正完成弗赖猜想严格证明的，是里贝特（Kenneth Ribet）。里贝特1986年的论文大书深刻地确定了：只要对半稳定的椭圆曲线证成谷山猜想，那么也就是证成了费马大定理。“谷山对，费马一定对”，现在是无疑了，但是谷山究竟对不对呢？里贝特这样想：既然“费马对”那么难证，三百年来依然悬案；“谷山对”一定更难证，三百年后未必有解。这位化学家出身的数学家，自己压根不想去碰谷山猜想，当然更想不到正是自己的工作给了怀尔斯决定性的动力，激励他踏上了最后的征程。

怀尔斯从十岁时读E·T·贝尔的《大问题》一书起，就对费马大定理情有独钟，证明费马大定理成了他长期的梦想，但真正采取行动，是在里贝特证明了弗赖猜想之后。椭圆曲线是怀尔斯的看家功夫，里贝特既然已将椭圆曲线与费马猜想联系起来，现在可望耕耘于此而收获于彼了。

    除了职务上不可推卸的工作，怀尔斯摒蔽人事，躲进小楼，朝乾夕惕，孜孜矻矻，施出浑身解数，舞动百般兵器，模形式、自守形式、群表示理论等等一切相关领域的方法和成果都用上了，一块一块地蚕食，一步一步地推进。阅七寒暑，终于在1993年的初夏，在一个数论专家的学术会议上，怀尔斯以连续三次演讲报告了他的工作，宣布费马大定理已经解决。怀尔斯很快获得了巨大的媒体荣誉，用辛书的话来说：“一夜之间，怀尔斯成了世界上最著名的数学家。”

    长达200页、分为六章的论文还须接受严格的审查，六位权威数论专家被委托为审稿人。分任第三章的尼克·凯茨（Nick Katz）发现一个疑点，怀尔斯不以为意的回答不能让凯茨满意，他坚持质疑，怀尔斯这下意识到了:这里有个实质性的漏洞，不予填补，就还不能说费马大定理的证明已经成功。令人心焦的是，在往后一年多时间里，怀尔斯千方百计，竟未能填补这个漏洞。到了1994年9月，似乎已经技穷，几乎已近绝望，怀尔斯准备放弃了，他想在漏洞上作一个假设，先将论文发表，留待别人来证明假设，这等于说，他要把最后一棒交给别人了。突然却灵感来了，早先他为计算“类数”公式，采用科利瓦金-弗莱切方法代替伊瓦沙瓦方法，现在他可以重新启用伊瓦沙瓦方法，结合科利瓦金-弗莱切方法来对付漏洞，想到这一层，一切迎刃而解。填补漏洞的计算和论证，怀尔斯写成另一篇论文，他终于贡献出一个完美无丝毫瑕疵的费马大定理的证明。

    怀尔斯论文接受审查、发现漏洞、填补漏洞的过程，十分典型地表现了数学事业上成功和荣誉的性质。假使那个漏洞凯茨没有发现，审查就此通过，而在成功庆典、巨大荣誉之后怀尔斯却自己发现了这个漏洞，那么他的内心会怎么样呢？肯定不会像服用兴奋剂未被发觉因而超标夺冠的运动员那样狂喜，说不定竟是一种空虚感、幻灭感。再假使，怀尔斯最后的灵感不来，他未能填补漏洞，只能俟诸将来和别人，那又怎么样呢？虽然不无遗憾，未作最后冲刺，毕竟他在长期的努力中获得了许多新的、深刻的结果，他仍然是成功的，光荣的。费马问题带出了新数学，所以是个好问题；任何人因研究费马问题而创发了新数学，就是个好数学家。总而言之，数学事业的成功和荣誉，是自我界定的，无须数学之外的任何东西来衡量。欢呼啊，歌舞啊，鲜花啊，奖金啊，头像登在杂志封面上啊，声音播在百家讲坛上啊，都无须来作比方，因为这成功和荣誉，属于别一世界。人类的凡百事业中，毕竟有数学这样不容自欺的干净事业，人类还是有希望的。（曾刊于2008年9月21日《东方早报·上海书评》）