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数学主要逻辑思维方法有：类比、反证法、分析法、综合法、归纳法、演绎法、数学归纳法。
一、类比
类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断他们在其他性质上也有可能相同或者相似。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还需经过严格的逻辑论证。所谓类比是这样一种推理思路，类比把两个（两类）对象进行比较，根据两个（两类）对象一系列属性上的相似，而且已知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论。类比的结论是或然的（结论可能正确也可能不正确）。
推理模式介绍：
类比推理的基本原理可以用下列模式表示：
A对象具有性质a、b、c，另外还有属性d；
B对象具有性质a、b、c，
=========================
所以，B对象具有性质d。（结论）
二、反证法
反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。通过‘原命题的逆否命题’的真假，来判定‘原命题’真假。一般来讲，反证法用于正面证明有困难，或者情况多或复杂，而“命题的否定命题”是比较浅显的题目，原命题可能解决的十分干脆。“反证法”的命题可以概括为“否定得出矛盾——否定”。从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证法的“否定之否定”。
反证法的运用：
欲证“若P，则Q”为真命题，从相反的结论出发，得出与事实、定理、已知条件、基本事实等相矛盾的结论，从而原命题为真命题。
原命题：“P => q为真”
第一步：先对原命题的结论进行否定，写出原命题的否定“P且非Q”。
第二步：从结论的反面出发，退出矛盾，即命题：p且非q为假（即存在矛盾）；从而证明该命题为真。
第三步：利用原命题与逆否命题的真假性一致，即原命题：P =>
q为真”。
注意事项：否命题与命题的否定是两个不同概念。命题的否定只对原命题的结论进行否定。原命题与原命题的否定是对立的存在，一个命题真，另一个命题必然为假。否命题同时否定条件和结论。
原命题：P => q；
命题的否定：P => 非q；
否命题：非P => 非q；
逆否命题：非q => 非p
三、分析法
“分析法”是从求证的“结论”出发，逐步寻求使它成立的“充分条件”，直到归结为一个显然成立的条件为止（已知的条件、定义、公理、定理、性质、法则等），从而证明论点的正确性、合理性。“分析法”也称因果分析，逆推证法或执果索因法。（‘分析法’和‘分析’不同）
“分析”是将“整体”分解成许多个简单的“部分”，然后对这若干个“部分”分别进行研究的方法。实质：通过对“部分”的研究，找出事物的内在矛盾，并对矛盾的各个方面进行深入研究。剔除那些偶然的、分本质的部分，抽象出相处本质的、必然的因素，并由此得出一些反应本质的简单规律，以把握矛盾的各个方面的特殊性。分析得出的结论只是对“整体”片面的理解，分析的结论不能从“‘整体’上、各个‘部分’之间的相互联系的角度”来把握整体规律。因此，在“分析”的基础上，还必须运用“综合”的手段，使“分析”得到的各个“部分”的本质规律，按照“整体”的内在逻辑组成一个有机体系“整体”，这样才能全面、深刻地认识“整体”，从而提出解决问题的有效方法。
分析，是将“整体”分解成若干个“部分”，对每个“部分”的功能和性质进行研究，并抽象出每个“部分”的本质规律；综合法，按照“整体”的内在逻辑，将若干“部分”重新组成一个“整体”。
分析是把“物体”拆解若干个简单的“零件”，研究每个“零件”的功能；综合是依照“物体”的内在规律，将若干个“零件”重新组装成一个“物体”的过程。分析法是对“物体”运用“拆解”的方法，来认识某“物体”的各个“部分”的功能和性质的过程。
分析法基本思想：
从“结论”出发，由“未知”向“需知”探求，逐步朝着“已知”推导的过程。
“分析法”在数学中的运用：
命题：已知p，证明q。
证明过程：
第一步：若q成立，需要条件c1；
第二步：若c1成立，需要条件c2；
第n-1步：若c(n-1)成立，需要条件p；
第n
步：书写证明过程，从第“n-1”步，到第“1”步；证明完毕。
“分析”的运用：
题目：分析“物体A”各个“部分”之间的联系。
求解：
第一步：将“物体A”,分解成若干“部分”{Ai|i=1,2,...n}；
第二步：分析每个组成“部分”——“Ai”的功能；
第三步：依据{Ai|i=1,2,...n}各个“部分”的功能的关系，研究“物体A”的规律；
第四步：依据“物体A”的内在规律，将{Ai|i=1,2,...n}装配“物体A”。
第五步：说明：第二步是认识“部分”的功能；第三步是研究各个“部分”如何组成“物体A”；以实现“物体”A的功能；第四步是将“部分”组装“整体”的‘实际操作’过程。
四、综合法
“综合法”是把组成“整体”各个“部分”联系起来，从总体上认识和掌握“整体”的性质和功能。实质：抓住事物在“整体”上相互联结的矛盾的特殊性，研究这一矛盾决定事物的各种属性，如何在事物的运动中表现出整体的特性。它能够克服分析法的局限性，能够揭示“整体”在拆解状态下无法显露出来的特性（综合法能够揭示“整体”具有“部分”没有的性质和功能）。
分析法，认识组成“整体”的每个“部分”的功能和性质。综合法，揭示将各个“部分”装配成为“整体”的方法和规律；以及认识“整体”具备而“部分”不具备的“功能和性质”。
分析法，以“部分”为研究对象，认识“部分”的性质和功能；综合法，以“整体”为研究对象，认识“整体”独有的功能和性质（“整体独有的性质和功能”是指，“部分”不具备的性质和功能而“整体”却具有的功能和性质）。
综合法必须以分析为基础，分析也要以先前综合的成果为指导；一定条件下，综合与分析可以相互转化。
综合法运用。
命题：已知条件c1、c2、……、cn（n∈N），求问题q。综合法使用，选择两个已知量c1和c2，以“已知量c1和c2”为条件求解问题r1；以“其他已知条件和r1”为条件求解问题r2；以其他已知条件和r1为前提求解问题r3；……，直到“问题q”得到解决。
五、归纳推理
归纳法，也叫归纳推理。归纳推理，通过研究个别对象所具备的规律，推断出此类对象都具有此规律。归纳法是一种由“个别对象”到“一般对象”的推理过程。归纳法的本质：“个别对象X”具有的性质和功能F；“归纳法”认为，与“对象X”在同一类别的“所有对象”都具有性质和功能F。
由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点，有特殊具体的事例推导出一般原理、原则的解释方法。自然界和社会中的一般规律，都存在于个别、特殊对象之中，一般规律通过个别对象而存在。一般规律都存在于具体的对象和现象之中。因此，只有只有通过认识个别对象，才能认识一般规律。人们在解释一个较大事物时，从个别、特殊的对象，总结和概括此类对象所具备各种各样带有一般性质的原理或规则；然后从这些原理、原则出发，再得到“某个具体对象”所具备的性质和规则。这种认识秩序贯穿于人们的解释活动中，不断从个别上升到一般，即从对个别事物的认识上升到对事物的一般规律的认识。从研究“个别对象”的研究得出一般性结论的推理过程，即归纳法（归纳推理）。显然，归纳推理是从认识研究个别对象，到总结、概括出此类对象的一般规律的推理过程。在进行归纳和概括的时候，不仅用归纳法，也用演绎法。
归纳推理的分类
传统分类：依据考察对象的范围不同，把归纳推理分为两类，即完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理考察某类的全部对象；不完全归纳推理仅仅考察了某类的部分对象。并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。
现代归纳逻辑则主要研究概率推理和统计推理。归纳推理的前提是结论的必要条件（若结论成立，则前提条件一定成立）。
归纳推理的特点
归纳推理的前提是真实的，但结论可能为真也可能为假。
归纳推理和演绎推理的比较
一、区别
1.归纳推理的思维进程是从个别到一般；演绎推理的思维进程是从一般到个别或从一般到一般。一般到一般的情况说明：A类具有属性B，A类的子类a也就有属性B；以A类推前提，子类a为结论。
2.对前期真实性的要求不同。演绎推理要求大前提，小前提必须为真。归纳推理则没有这个要求。
3.结论所断定的知识范围不同。演绎推理的结论没有超出前提所断定的知识范围；即演绎推理没有产生新知识。归纳推理，除了完全归纳推理以外，结论都超出了前提所断定的知识范围；即归纳推理产生了新知识。
4.前提与结论间的联系成都不同。演绎推理的前提与结论间的联系时必然的；也就是说前提为真，推理形式正确，结论必然为真。归纳推理，除了完全归纳推理的前提与结论是必然联系以外，其他归纳推理的前提和结论之间的联系是豁然的；也就是说前提为真，推理形式正确，结论可能正确也可能不正确。
二、联系
1.演绎推理如果要以一般性知识为前提，（演绎推理未必都要以一般性知识为前提）则通常要依赖归纳推理来提供一般性知识（由归纳推理提供某类对象的共有性质）。
2.归纳推理离不开演绎推理。其一，为了提高归纳推理的可靠程度，需要运用以后的理论和知识，对归纳推理的个别性前提进行分析，掌握其中的因果性、必然性，这就要用到演绎推理。
归纳推理的运用：
如果物体a具有性质p，那么物体a所在的类的全部对象也具有性质p。
六、演绎推理
所谓归纳推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。
关于演绎推理，还存在以下几种定义：①演绎推理是从一般到特殊的推理；②它是前提蕴含结论的推理；③它是前提和结论之间具有必然联系的推理；④演绎推理就是前提与结论之间具有充分条件或者充分必要条件的必然性推理。
演绎推理的意义：
演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用。这是因为演绎推理保证推理有效的根据并不在它的内容，而在于它的形式。演绎推理的最典型、最重要的应用，通常存在于逻辑和数学证明中。
爱因斯他说：理论家的工作可以分两步。首先是发现公理；其次是从公理推导出结论（演绎推理，从一般到特殊；即A类对象具有属性X，对象a为属于A类，通过演绎推理，得出结论对象a具备属性X）。哪一步更难些呢？如果科研人员在学生时代已经得到很好的基本理论、逻辑推理和数学的训练，那么他走第二步时，只要有“相当的勤奋和努力，就一定能够成功”。
至于第一步，如何找出演绎出发的公理，则具有完全不同的性质。这里没有一般方法，“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理（归纳推理，特殊到一般）”。请注意“经验事实”这几个字，它们表明了爱因斯他方法论中的主流时唯物主义。公理必须来自于客观实际，而不是主观臆造，否则就又陷入唯心主义泥潭的危险啊。爱因斯坦还说：“适用于科学幼年时代以归纳为主的方法，正让位于探索性的演绎法”。爱因斯坦的方法既然主要是演绎的，所以他特别强调思维的作用，尤其是想象力的作用，数学才能，这是演绎法所必不可少的。
演绎推理是严格的逻辑推理，一般表现为大前提（一般规律）、小前提（个别对象归属于大前提的类）、结论（个别对象具有一般规律）的三段论模式：即从两个反映客观世界对象的联系和关系的判断中的初心的判断的推理形式。举例：‘自然界一切物质都是可分的，基本粒子时自然界的物质，因此基本粒子时可分得’。演绎推理的基本要求是：一是大、小前提的判断必须是真实的；二是推理过程必须符合正确的逻辑形式和规则。演绎推理的正确与否搜先取决于大前提的正确与否，如果大前提错了，结论自然不会正确。
演绎推理的形式：三段论、假言推理、选言推理、关系推理等。
三段论：
是由两个含有一个共同项的性质判断作为前提，得出的结论是“一个新的性质判断”，此为演绎推理。三段论是演绎推理的一般形式，包括三个部分：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
、
举例：“知识分子都是应该受到尊重的，人民教师都是知识分子，所以人民教师都是应该受到尊重的”。
其中，结论的主项叫做小项，用“S”表示，S=‘人民教师’；结论中的谓项叫做大项，用“P”表示，P=‘一ing该受到尊重’。两个前提共有的项叫做中项，用“M”表示，M=‘知识分子’。
在三段论中，含有大项的前提叫做大前提，大前提=“知识分子都是应该受到尊重的”。含有小项的前提叫做小前提，小前提=“人民教师都是知识分子”。三段论推理是根据两个前提所表明的中项M与大项P和小项S之间的关系，通过中项M的媒介作用，从而推导出确定小项S与大项P之间关系的结论。
假言推理
是以假言判断为前提的推理。假言推理分为充分条件假言推理和必要条件假言推理两种。
1.充分条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的条件，结论就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的后见，结论就否定大前提的前件。如下两个例子：
①如果一个数的末位是0，那么这个数能被5整除；这个数的末位是0，所以这个数能被5整除；②如果一个图形是正方形，那么它的四边相等；这个图形四边不相等，所以他不是正方形。分析案例：两个例子中的大前提，都是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似之处，但他不是三段论。
2.必要条件假言推理的基本原则是：小前提肯定大前提的后件，结论就要肯定大前提的前件。小前提否定大前提的前件，结论就要否定大前提的后件。如下面两个例子：
①只有肥料足，菜才长得好；这块地的菜长得好；所以这块地肥料充足。②育种时只有达到一定温度，种子才能发芽；这次雨中没有达到一定温度；所以种子没有发芽。案例分析：①小前提肯定大前提的后件，结论肯定大前提的前件。
②小前提否定大前提的前件，结论否定大前提的后件。
选言推理
是以选言判断为前提的推理。选言推理分为相容的选言推理和不相容的选言推理两种。
1.相容的选言推理的基本原则：大前提是一个相容的选言判断，小前提否定了其中一个（或一部分）选言支，结论就要肯定剩下的一个选言支。
例如：这个三段论的错误，或者是前提不正确，或者是推理不符合规则；这个三段论的前提是正确的，所以这个三段论的错误是推理不符合规则。
2.不相容的选言推理的基本原则：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论否定其他选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。
举例：①一个词，要么是褒义的、要么是贬义的，要么是中性的。“结果”是中性词，所以“结果”不是褒义词，也不是贬义词。
②一个三角形，要么是锐角三角形，要么是钝角三角形，要么是直角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形。所以它是个钝角三角形。
关系推理
前提中至少有一个关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理。
1.对称性关系推理（等价推理）。举例：1米=100厘米，所以100厘米=1米。
2.反对称性关系推理。举例：a大于b，所以b小于a。
3.传递性关系推理。a>b，b>c；所以a>c。
七、数学归纳法
第一数学归纳法证明步骤：
1.归纳奠基：证明n=1时，命题成立；
2.归纳假设：假设n=k时命题成立；
3.归纳地推：由归纳假设（步骤2），推导出m=k+1时命题也成立。
4.由此可以判断：命题成立。
第二数学归纳法
1.当n=1,2时，命题成立；
2.假设当n<=
k(k∈N)时，命题成立；由此可以推导出当n=k+1时，命题成立。
3.根据1和2可得，命题对于一切正整数n来说都成立。
总结：第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以不同的表达形式，只在便于我们应用。
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