一个奇妙有趣的数字：163_清南听稿

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一个奇妙有趣的数字：163

(2016-12-13 10:12:42)

一个奇妙有趣的数字：163

文/匡世珉（知乎）

本文系作者授权“清南”发布

啊，我来介绍一个有趣的数字：163.

虽然163看起来人畜无害，但是……请听题： $e^{\pi\sqrt{163}}$ 是奇数还是偶数？

嗯？你的意思是 $e^{\pi\sqrt{163}}$ 是个整数？？

额……我开玩笑的，这个数字显然是个无理数。但如果我们把它的值算出来：

$e^{\pi\sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992\dots$

小数点后有12个9，确实非常接近一个整数！

由于这个神奇的性质， $e^{\pi\sqrt{163}}$ 被称为『拉马努金常数』。

（实际上这个数并不是拉马努金第一个发现的，埃尔米特在1859年就注意到了这个神奇的数字。『拉马努金常数』这个名字是源于数学专栏作家马丁·加德纳在愚人节那天开的玩笑，因为这实在太拉马努金了……）

拉马努金常数如此接近整数，是个巧合吗？

这不是巧合，这是可以被解释的。（我真的觉得很神奇，这样一个现象竟然可以被解释。）

为了说明这不是巧合，我们先来复习一下质因数分解=w=

对于每一个大于1的正整数，我们都可以把它唯一地分解为若干质数（素数）的乘积，比如：

https://zhihu.com/equation?tex=24=2/cdot+2/cdot2/cdot3

https://zhihu.com/equation?tex=1001=7/cdot11/cdot13

正整数的唯一分解性质被称为『算术基本定理』。

然而有时候只考虑正整数并不能让数学家们满意，比如解勾股方程——

高斯注意到，如果想要找 a^2+b^2=c^2 的整数解，在有理数的基础上加入一个平方等于-1的数 $\mathrm{i}$ 会方便很多，因为这样我们就可以把等式写成 $(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})=c^2$ ，等式两边都变成了乘法。

在有理数中加入https://zhihu.com/equation?tex=a,b为整数）。

高斯整数与正整数一样，也具有唯一分解性质，即每一个高斯整数都可以被唯一地被分解为『不可再分的数』的乘积。

然而唯一分解性质并不是任何时候都有的。

如果我们在有理数中加入 $\sqrt{-5}$ ，相应的整数集合 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 就不具备这个性质，比如：

$6=2 \cdot 3= (1+\sqrt{-5})\cdot(1-\sqrt{-5})$

这是两种不同的『分解为不可再分的数』方法。

那么加入哪些数，扩充了的整数集合依然可以保持唯一分解性质呢？高斯做了如下猜想：

满足『在有理数中加入https://zhihu.com/equation?tex=1,2,3,7,11,19,43,67,163.

这就是数论领域著名的Gauss class number problem（高斯类数猜想）的一部分，该部分于1967年得到证明。

所谓『类数』，就是衡量扩充的整数集合『离唯一分解性质到底有多远』的正整数。如果类数是1，那么我们就可以唯一分解；类数越大，这个集合离『唯一分解性质』就越远。

高斯还猜想：

如果加入的不是https://zhihu.com/equation?tex=d有无穷多个。

这个猜想至今没有得到证明（或推翻）。具体可以看：Class number problem。

https://zhihu.com/equation?tex=1,2,3,7,11,19,43,67,163这九个数被称为Heegner数，因为Heegner最先给出了（一个有一点点小错的）证明。

（这个故事其实略复杂。Heegner并不是一位职业数学家，而是一位无线电工程师，所以当他完成证明时，并没有引起数学界的重视。后来Stark证明了这个猜想，回过头看Heegner的证明，发现他的证明几乎没什么问题，只需要做一点点小修正就好了。）

嘿，163这个数字又出现了：最后一个Heegner数。

所以拉马努金常数的神奇性质跟这个有关？？？

为了看出到底有没有关系，我们不妨把163换成较小的Heegner数：

$e^{\pi\sqrt{43}}=884736743.9997\dots$

$e^{\pi\sqrt{67}}=147197952743.999998\dots$

虽然没有 $e^{\pi\sqrt{163}}$ 那么惊人，但是它们离整数也相当近。

这样看来似乎就不是巧合了哎……

没错，拉马努金常数的神奇性质与Heegner数直接相关。

可是，可是，可是『一个奇怪的数接近整数』跟『扩充的整数集合是否具有唯一分解性质』有什么关系呢？这看起来八竿子打不着呀……

它们之间确实有内在的联系，而且『直接相关』。

===============我需要介绍一个概念===============

不知道大家是否注意到一个细节，我一直在说『在有理数中加入 $\sqrt{-d}$ 』而不是『在整数中加入 $\sqrt{-d}$ 』。这是为什么呢？

原因就在于，扩充的整数集合里的『新整数』并不都是 $a+b\sqrt{-d}$ 的形式，所以不能一概而论地写成 $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ 。于是我们自然就有一个问题：

如何扩充整数集合？

接下来我要介绍一个概念：代数整数。

要想扩充整数集合，我们肯定不能随心所欲地把任何想加的数都加进来。为了找一种合理的扩充方法，我们注意到通常所说的整数具有如下的性质：

所有的整数都是多项式https://zhihu.com/equation?tex=a是一个整数。

如果你不觉得这几乎是一句废话，那就让我来解释一下这为什么几乎是一句废话……

举几个例子：

https://zhihu.com/equation?tex=5-5=0.

https://zhihu.com/equation?tex=12-12=0.

https://zhihu.com/equation?tex=320-320=0.

…………

……停停停！这不是废话吗？整数https://zhihu.com/equation?tex=X-a的根啊，所以呢？？？

理解了这为什么是废话就好=w= 我们来看一看整数满足的多项式https://zhihu.com/equation?tex=X-a具有什么样的性质：

第一，这个多项式的系数都是整数。

第二，这个多项式的最高次项的系数是1（被称为首一多项式）。

有了这两点，我们就可以把整数的概念扩充为代数整数啦：

代数整数是整系数首一多项式的根。

既然说是『扩充』，那么我们首先得确认一下整数都是代数整数。

（喂，快确认一下，我等三秒钟：3……2……1……好，继续=w=）

除了整数之外，代数整数还有很多，比如：

$\mathrm{i}$ 是代数整数，它是整系数首一多项式 X^2+1 的根。

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 是代数整数，它是整系数首一多项式 X^2-X-1 的根。

$X^{811}-254X^{37}+343245X^{23}-2X^9-13$ 的根（们）也是代数整数，虽然我懒得算。

当我们在有理数中加入了 $\mathrm{i}$ ，我们的数域就变成了 $K=\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ ，其中的代数整数是所有形如 $a+b\mathrm{i}$ 的数，这个代数整数集合记为 $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ .

当我们在有理数中加入了 $\sqrt{-5}$ ，我们的数域就变成了 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ ，其中的代数整数是所有形如 $a+b\sqrt{-5}$ 的数，这个代数整数集合记为 $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ .

但也有比较复杂的情况：

当我们在有理数中加入了 $\sqrt{-7}$ ，我们的数域就变成了 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ ，其中的代数整数是所有形如 $a+b\left(\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\right)$ 的数，这个代数整数集合记为 $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\right]$ .

…………

我们把每个代数整数对应的整系数首一多项式的次数称为该代数整数的次数。

注意到，次数为1的代数整数就是整数。（这其实就是之前的那句废话，只是换了一种说法……但这句废话很重要！！）

===============我知道你等不及了，我也一样===============

好的！现在我可以来说『接近整数』跟『唯一分解』到底有什么联系了！

如果我们在有理数中加入了 $\sqrt{-163}$ ，我们的数域就变成了 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-163})$ ，而其中的代数整数是所有形如 $a+b\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)$ 的数，这个代数整数集合记为 $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right]$ .

我们有一个非常神奇的函数https://zhihu.com/equation?tex=j（先不管它具体是什么），它的定义域是上半个复平面（即虚数部分大于零的复数），记为 $\mathbb{H}$ ，值域是复数域 $\mathbb{C}$ .

于是我们可以求 $j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)$ 的值，并且我们知道这将会是一个复数。

然而椭圆曲线complex multiplication（不知道怎么翻译）中的一个神奇的定理告诉我们：

https://zhihu.com/equation?tex=h_K.

还记得吗？我们之前说过，https://zhihu.com/equation?tex=h_K=1，于是 $j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)$ 是一个次数为1的代数整数，所以这是一个整数！

除此之外，https://zhihu.com/equation?tex=j函数还有一个独特的性质：它是周期为1的函数，即 $j(\tau+1)=j(\tau)$ .

于是我们可以把它展开（这被称为https://zhihu.com/equation?tex=q展开，与Laurent级数有关）：

$j(\tau)=\frac{1}{q}+744+\sum_{n\geq 1}{a_nq^n},$

其中https://zhihu.com/equation?tex=a_1=196884,~+a_2=21493760等等）， $q=e^{2\pi\mathrm{i}\tau}$ .

当 $\tau=\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$ 时，我们有 $q=e^{2\pi\mathrm{i} \left(\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{163}}{2}\right)}=-e^{-\pi\sqrt{163}}$ ，代入https://zhihu.com/equation?tex=q展开的等式中可以得到：

$j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=-e^{\pi\sqrt{163}}+744-196884e^{-\pi\sqrt{163}}+21493760e^{-2\pi\sqrt{163}}-\cdots$

这是一个整数。注意到等式右侧除了前两项，后面的数都很小很小。

接着，我们把右侧的前两项移到左侧，得到：

$e^{\pi\sqrt{163}}-\text{integer}=-196884e^{-\pi\sqrt{163}}+21493760e^{-2\pi\sqrt{163}}-\cdots\approx 0.$

所以 $e^{\pi\sqrt{163}}$ 非常非常接近一个整数。

回顾一下，『接近整数』跟『唯一分解』的直接联系在于：

唯一分解意味着类数https://zhihu.com/equation?tex=h_K=1的代数整数就是整数。

===============额，我知道上述内容信息量巨大===============

当然了，这不算是彻底的解释。我们至少还可以问三个问题：

1. https://zhihu.com/equation?tex=j函数是什么？

2. https://zhihu.com/equation?tex=q展开是什么？

3. 『椭圆曲线complex multiplication』是什么？

不过……这篇回答的信息量已经挺大的了，而大家所好奇的『直接联系』我也（大概算是）讲到了。如果还有人（在理解了上述内容的情况下！）还对这三个问题特别好奇，我可以再稍微写一点点。

也许大家会好奇（评论里也有人问）：高斯怎么知道163是最大的一个？

确实，19, 43, 67还算离得比较近，然后突然跳到了163……出现这种情况，一般人都不会去猜测163就是最后一个Heegner number吧。至于高斯为什么觉得是这样，我觉得答案是：

https://pic4.zhimg.com/v2-660de02791160175396418fed432d167_b.jpg
还有一点可以说的：

类数其实是『理想类群』的元素个数。

闵可夫斯基引入了『数的几何』证明了理想类群都是有限群，所以它们的类数才是一个『正整数』。

而早在闵可夫斯基出生之前，高斯非常敏锐地发现了类数与二次型的关系，在没有『理想类群』概念的情况下就证明了复二次域的类数是有限的。（此时应再看一眼上图。）

那么就这样=w=

来源邀稿：匡世珉

原文链接：https://www.zhihu.com/question/51033691/answer/134759209

http://www.cwbgj.com/advance/ueditor/php/upload/20161213/1481595030858.jpg

https://www.zhihu.com/question/51033691/answer/134759209

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