http://www.changweibo.com/ueditor/php/upload/20150129/14224981048788.jpge^t^2 原函数为什么“积不出来”？" />

     刚刚在人人上看到有人分享1995年的巴黎高师入学考试试题，不过链接似乎打不开。我在新浪微盘里找到了题目的电子版，发到人人上和大家分享。

     在大学学过微积分或数学分析的人都知道，有些函数的原函数是“积不出来”的，即不是初等函数。大多数的分析学教材讲到这个问题的时候都只是简单提到这个结果，即没有提到如何证明，因为太复杂，又没有说想要证明这样的结论到底需要哪方面的知识。 
最近我得到一份巴黎高等师范学校1995年的入学考试题，以问题和提示的形式指导考生完整地证明∫et2dt 的非初等性，以及它的理论基础：微分域中的刘维尔(Liouville)定理。 
我大一的时候就对这个问题很好奇，所以借此机会做了这份试卷并将试卷翻译成中文，把它的证明方法介绍给国内的数学爱好者。另外原题中有些印刷错误，翻译时顺便改正了。 
     1，做这份试卷需要两方面的基础：复变函数和抽象代数理论。要知道巴黎高师虽然是法国顶尖的数学学府，但这份试题毕竟只是针对高中毕业并上过两年大学预科的学生，学历水平相当于国内大学三年级。因此，凡是国内大学数学专业并学过这两门课的学生都可以试做这份试题。 
     2，考试时间是4小时，但几乎不可能在短短4小时之内把这份题完整做出来，实际选拔是按照分数高低排序的。 
     3，这套题中有一些关于复变函数的结论是直接被承认的，比如“复数域的某个开集上定义的所有解析函数构成一个整环”，建议读者将这样的命题也证明出来，至少要知道为什么。 
     4，做过这份试题之后可以思考下面几个函数，判断它们的原函数是否是初等函数： 
1) e^z/z^n ; 2) sinz/z^n ; 3) ztanz ; 4) z^z  
     提示：试题中的做法都是代数的，但有些问题用复分析的理论能更轻松地看出结论，比如上面的第一个例子，应用试题第VI部分的某结论并结合留数定理，就会迎刃而解。 
PDF下载： 
http://math.tianpeng.org/wp-content/uploads/2014/02/ENS1995-Maths-zh_CN.pdf 
法语原版可以在这里找到： 
http://www.mathsland.com/Forum/Uploads/3489a9494dbdc61a1fe1663d8001b67bm95lm1ea[1].pdf 
下面的文章介绍了关于这个问题的一点历史:

http://vte-jdn.appspot.com/?p=208001 

     有点遗憾，这三个链接一个都打不开，估计要采取一些特殊手段吧。我给大家分享一个新浪微盘的地址：

     1. http://vdisk.weibo.com/search/?type=public&keyword=巴黎高师 

     2. http://vdisk.weibo.com/s/C2E-ER3JT18G4 

     两个地址应该都行的吧，希望大家能够喜欢。

来源网络：缪欣晨

http://www.changweibo.com/ueditor/php/upload/20150129/14224980136624.jpge^t^2 原函数为什么“积不出来”？" />