谈谈平面图形的翻折

阜南一中  数学教研室    李林

 

平面图形按照一定的要求经过翻折后成为空间图形，这类空间图形与原平面图形比较有很大的变化，解决这类问题对培养学生空间想象能力和实际操作能力非常有益。因而时常进入高考试题中来，一些学生由于不能借助模型依托，画不出或画错直观图，从而不能正确解题，如何解好平面图形的翻折呢，笔者谈谈教学中的体会。

一、画好翻折后的直观图

传统立体几何问题主要表现为识图、画图和对图形的想象能力，识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系，画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换，对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种。

研究折叠图形，首先面临如何画好折叠后的图形的直观图问题，这是难点之一。错误的图像容易产生错误的诱导，引向歧路或多走弯路，正确的直观图能产生积极的诱导，能帮助我们进行正确的分析。可按如下的步骤画折叠图。（1）先画好翻折前的平面图形的原形图。由于翻折后的图形局部仍是原来的形状和大小，但直观形状发生了改变，从而借助原形可对其进行正确的观察分析研究。（2）画好翻折前水平放置的原形平面图的直观图。由于折叠后的立体图形是放在水平面进行观摩的，而水平面上的图形是原形图水平放置的直观图，从而可以正确的画出折叠后的放在水平面上的部分的形状。（3）我们知道在斜二测画法里，直立正对我们的平面部分，保持了原形的形状。因此这也是我们处理折叠直观图的一种位置选择。在把水平面或直立正对面放好之后，其余往往只是一个关键点的放置问题，移动一下就可选出最佳的放置位置。

二、探寻翻折前后的元素的变与不变是解决翻折问题的关键。

平面图形经过翻折后成为空间图形，由于位置关系变了，有些元素在位置关系的变化中数量关系发生了变化，但有些元素的数量关系都没变。

元素间的位置关系有的改变，有的没有变，认真分析这些量和位置关系的变与不变，是解决翻折问题的关键。

翻折后，位于同一个半平面内的元素之间的数量关系没变，位置关系也没有变。

翻折后，位于两个半平面内的元素间的数量关系和位置关系一般发生变化。

翻折后，位于两半平面内平行于折线的两直线，平行关系不变，但距离发生了变化。

翻折后，位于两半平面内垂直于折线的线，所成角发生变化，但距离不变。

例1：在直角坐标系中，设A（―2，3），B（3、―2），沿x轴把直角坐标系所在平面折成120⁰的=面角后，求AB的长度

 

 

 

 

分析：折叠后，把x轴及其下方的半平面放在水平面上，并配合衬托线，可得折叠后的直观图（3），从而可用异面直线上两点间的距离公式直接求解。

解：过A作AA₁⊥x轴垂足为A₁，过B作BB₁⊥x轴，垂足为B₁，折叠后，A、B到x轴的距离不变，故AA₁=3  BB₁=2

此时AA₁与BB₁是异面直线，公垂线段A₁B₁长度为5

且： 与成 120⁰角

故：

AB²=AA₁²+BB₁²+A₁B₁²－2×AA^/·BB^/·COS/20⁰=3²+2²+5²－2×3×2×（－ ）=44

∴AB=2

例2：正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△EAD及△DCF折起，使A、C重合于A^/点。

（1）证明AD^/⊥EF

（2）当F为BC中点时，求A^/D与平面DEF所成角

 

 

 

 

分析：把四边形BFDE放在水平面上，则折叠后的图形如（3）所示，注意到折叠后∠DA^/F与∠DA^/E没有变化可得A^/D ⊥平面A^/EF在（2）中由于∠A^/DF=∠A^/DE，故A^/D在平面DEF上的射影是<EDF的平分线。

证明：（1）∵A^/D⊥A^/E，A^/D⊥A^/F

∴A^/D⊥平面A^/EF

∴A^/D⊥EF

（2）取EF中点G，连A^/G，DG

∵BE=BF=1   ∠EBF=90⁰   ∴EF=

又∵A^/E=A^/F=1      ∴∠EA^/F=90⁰  A^/G⊥EF

得A^/G=

∵A^/G⊥EF  A/D⊥EF  A^/G∩A^/D=A^/

∴EF⊥平面A^/DG

∴平面DEF⊥平面A^/DG

作A^/H⊥DG于H，得A^/H⊥平面DEF

∴∠A^/DG就是A^/D与平面DEF所成角

∴在RT△A^/DG中，A^/G= ，A^/D=2

∴∠A/DG=arctan

三、注意平面图形与空 间图形的转化

立体几何解题的根本思想是把空间问题转化为平面问题，解翻折问题时，首先要根据题目的要求正确画出由平面图形折成的空间图形，即由平面转化成空间。在解题过程中，往往根据问题的需要把空间图形还原成平面，以利探索分析，通过平面——空间——平面的转化，分析空间图形与平面图形的联系，寻找解题的方法。

例3：如图直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90⁰，AB=AD=a，CD=3a，将△ABD沿BD折起，使之与平面BCD成60⁰二面角，点A到A^/的位置，求A^/，C的距离。

 

 

 

 

解析：把△BCD放置在水平面上，则折叠后的直观图如（3），将△ABD沿BD折起到△A^/BD的位置后，原△ABD中的各元素均未改变。在梯形ABCD的底CD取点E，使DE=a，连结AE交BD于F，连结BE、A^/F，则四边形ABCD是正方形，所以AE⊥BD，所以EF⊥BD，因为沿BD将△ABD折起后，仍有A^/F⊥BD，所以∠A^/FE是二面角A^/―BD―C的平面角，所以∠A^/FE=60⁰，连结A^/E，因为A^/F=EF= a，在△A^/ED

中，cos<A^/DE= =  =

所以A^/C²=A^/D²+CD²—2A^/D·CDCOS∠A^/DE=a²+9a²—2a·3a·

∴A^/C= a

四、分析元素间的关系，合理、正确地进行计算

在翻折问题中,平面图形各元素间的位置关系是基础，折成空间图形后，要认真分析已知元素与已知元素，已知元素与未知元素之间的相依关系，确定解题步骤，选择计算方法，合理正确地进行计算。

例4：已知正方形ABCD中，AD和BC的中点分别为M、N，将正方形沿MN折起成直面角，C点落在C^/，D点落在D^/，设正方形的边长为2

 

 

 

 

（1）求A到C^/点的距离

（2）求二面角C^/―AC―B的余切值

分析：

（1）求A点到C^/点的距离，即求AC^/的长度，翻折后AN、CN的长度不变，C^/N⊥MN，又二面角C^/－MN－B是直二面角，∴C^/N⊥AN，△AC^/N为直角三角形。求得AN= ，C^/N=1，在Rt△AC^/N中，由勾股定理AC^/= =

（2）求二面角C^/―AC―B的余切值，先作出二面角的平面角，过N作NP⊥AC，由三垂线逆定理C^/P⊥AC，则<C^/PN为二面角C^/―AC―B的平面角，在RT△C^/NP中C^/N=1，欲求 <C^/PN的余切值关键在于求PN的长，在△PCN中，PN=CNsin45⁰= ，因此， cot∠C^/PN= = 。

由以上分析可以看出，本题无论是求AC^/的长还是求<C^/PN的余切值都是通过解三角形完成的，因此分析元素间的关系，创造三角形可解的条件是完成本题计算的关键。

例5：在平面内有一个边长为a的正三角形ABC，在△ABC中，DE//BC，沿DE将△ADE折起，使它与△ABC所在平面成60⁰的二面角，如图，请问直线DE取在何处时，折起后A到BC的距离最短？最短距离是少？

 

 

 

 

解：如图所示，折转后，设BC中定M，DE中点N，则AN⊥DE

∴AN⊥BC

又MN⊥BC

∴BC⊥平面AMN

∴AM⊥BC，即AM是A到BC的距离，同时∠ANM=60⁰为二面角的平面角

设AN=x，则MN= a－x

由余弦定理，AM²=AN²+MN²－2AN·MN·cos60⁰

=x²+( a－x)²－x（ a－x）

=3（x²－  ax）+ a²=3（x－ a）²+ a²

当x= a时，即N为等边三角形高的中点时，A到BC的距离最小，此时DE是△ABC的中位线，最短距离AM= a