圆和椭圆相切的问题

阜南一中数学教研室　李　林

问题引入：在椭圆 上是否存在点 到定点   的距离的最小值为1，若存在，求a的值及P点的坐标，若不存在，请给予证明。

有人构造出这样一种解法：作一个以 为圆心，以1为半径的圆 ，存在点P的充要条件是该圆点椭圆相切，如图

由

解得 ，

这个答案显然是错误的，因为 时，方程(3)的两等根为 ，而对椭圆 ，有 ，故方程组无解，圆与椭圆相离，这个解答，既失了根，又增了根，问题出在哪里呢？

首先，在联立方程组消去y得到方程(3)时，x的范围发生了变化，这是增根的原因，其次，用判别式 来应对圆与椭圆相切是没有根据的。

这个问题的图形直观很清晰，如何用圆与椭圆相切的理论来研究该问题呢？

圆与椭圆相切就是指圆和椭圆在公共点处的切线相同，此时称公共点为圆和椭圆的切点。

若椭圆方程为 ，则过椭圆上一点 的切线方程为 （证明略）

下面用圆与椭圆相切的理论解这道题，构造以 为圆心，1为半径的圆， ，设椭圆 与圆 的切点为 。

点P在圆上，

即

过P点的椭圆的切线方程为

这也是圆的切线方程

而过切点 与切线

垂直的直线方程为

即

显然该直线过圆的圆心

或

当 时，代入(1) 得 ，此时 ，舍去

当 时，有 代入(1)得

或 ，

，此时切点(3，0)，即P的坐标(3，0)

本题也可用函数的思想来解。

设 ， 在椭圆上，

，　　　

又

　且

当 时，在 处， 取得最小值 。

由题意 ，

当 时，在 处， 取得最小值 。

依题意 ，

此时P点的坐标是(3，0)，故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标为(3，0)

高中数学中还有类似的问题，希望以上解答对此能有所帮助。