小学数学教师解题能力培训

1.还原问题

2.植树问题

3.方阵问题

4.相遇问题

5.追及问题

6.火车行程问题

1.还原问题

专题分析

一个小孩子问一位老人有多少岁了，老人说：“把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘10，恰好是100岁。”这位老人有多少岁呢？

设老人有X岁，得  

〔（X+12）÷4－15〕×10＝100       X=88

（100÷10+15）×4－12＝88（岁）

有些问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一个已知量，要求求出原来的未知数量。解题时，如顺着题目的条件叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从最后一个已知量出发，一步步倒着思考，那么问题容易解决，这种解题的方法叫还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。

建议解题方法：

    1.直接列式一步步倒着推算；

    2.借助列表和画图来帮助解决问题。

例题分析

例1    甲、乙、丙三个人共有图书90本，乙向甲借3本后，又送给丙5本，结果三个人图书数相等。问甲、乙、丙三人原来各有多少本图书？

例2　植树节学校要栽102棵树苗，小强和小明两人争着去栽，小强先拿了若干树苗，小明见小强拿得太多，就抢了10棵，小强不肯，又从小明那里抢回来6棵，这时小强拿的棵数是小明的2倍。问：最初小强拿了多少棵树苗？

例3　一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？

例4　有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分,还剩一枚，取走三份又一枚。这样一共操作了5次。问：原来至少有多少枚棋子？

例5　有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们各增加原有油的一倍；最后按同样的方法将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克？

例6　兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的现年的年龄各多少岁？

2.植树问题

一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。

1.如果两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝段数＋1。

2.如果只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝段数。

3.如果的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝段数－1。

二、在封闭（圆形）线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。

共同点：

•        任课教师通常特别重视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，也即所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。

•        就上述三个类型的区分而言，任课教师通常归结为“规律的发现”，并普遍地采取了“学生独立探究（或分组探究）、反馈交流、教师总结”这样的教学方法。

•        就相关的数学思想而言，有不少教师突出地强调了所谓的“化归思想”。

分析与思考

• “植树问题”事实上涉及到了两种不同的数学活动：

      （1）以“植树问题”为原型引出普遍性的数学模式，然后再利用这一模式去解决各种新的问题，如路灯问题、锯树问题、爬楼问题等。

      （2）对于所提到的每一个问题我们又都可以区分出三种不同的情况，这也就是所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。

• 关键：究竟何者应当被看成这一教学活动的重点？什么又是这一教学活动的真正难点？ 

分析与结论

1.将“三种情况”的区分以及相应的计算法则看成是一种“规律”、并要求学生牢固掌握从而就能直接加以运用恐怕不很恰当；不如说，在此真正重要的应是“一一对应”这样一个数学思想——就“植树问题”进行分析，这也就是指，在此真正重要的是在“间隔”与“树”之间所存在的一一对应关系。

2.所谓的“加一”、“减一”等法则又只是针对具体情况作出的适当变化——从而，在此真正需要的就不是“规律的应用”；而是思维的灵活性，也即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。

教学建议：

• 对于“植树问题”的教学应当区分出这样两个不同的教学要求或教学环节：（1）突出“分隔问题”，即是如何能以“植树问题”为背景帮助学生建构相应的数学模式；（2）明确引出“间隔数”与“所种树的棵数”这两者的关系，突出“一一对应”的思想，并以此为基础求解各种变化了的情况。

• 对于“两端都种”等三种情况的区分不应过于强调，更不应将相应的计算法则看成重要的规律乃至要求学生牢牢记住从而就能不假思索地加以应用。

例题分析

例1　在一段路的一边每隔5米种一棵树，两端都种，共种了100棵。这段路长多少米？

例2 小明要到高层建筑的11楼，他走到5楼用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？

例3　科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针指向9。问第一次记录时，时针指向几？

例4　在一条公园小路旁放一排花，每两盆花之间距离为4米，共放了25盆。现在要改成每6米放一盆，问有几盆花不必搬动？

例5　 一个湖泊周围长1800米，现每隔6米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树。问湖泊周围一共栽了多少棵柳树，多少棵桃树？

3.方阵问题

专题分析

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。方阵有实心和空心之分。

方阵的基本特点是：

① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同。每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数就少8。

② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：

　四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；

　每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。      ③ 实心方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。

　空心方阵人数（或物）数＝最外层每边人（或物）数2－（最外层每边人（或物）数-层数×2）2

例题分析

例1　某部队战士排成方阵进行队列训练，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横、竖各增加一排，现在共有多少名战士？

例2　某校五年级学生排成一个方阵做操，最外一层的人数为60人。这个方阵共有五年级学生多少人？

例3　小华观看团体操表演，他看到的表演队伍中的一个方阵变成一个正三角形实心队伍，他估计队伍中的人数大约在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？

例4　明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子14个，明明摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?

例5　 120个棋子摆成一个三层空心方阵，最内层每边有多少个棋子？

例6　一个街心花园如右图所示。它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。整个花园中共栽多少棵花？ 

4.相遇问题

专题分析

小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段路程。

如果两人同时出发，那么：路程＝甲走的距离+乙走的距离

＝甲的速度×时间+乙的速度×时间

＝（甲的速度+乙的速度）×时间

即：相遇路程＝速度和×相遇时间。

例题分析

例1  　一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距360千米的两地相向而行，公共汽车每小时行35千米，小轿车每小时行55千米，几小时后两车相距90千米？

例2   小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？

例3   小明回家，距家门540米，妹妹和小狗一齐向他奔来，小明每分钟行50米，妹妹每分钟行40米，小狗每分钟行200米，小狗遇到小明后用同样的速度不停地往返于小明和妹妹之间。当小明与妹妹相遇时，小狗一共跑了多少米？

例4　一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？

例5 　甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了5分钟又与丙相遇，求A、B两地间的路程。

例6   小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米？

5.追及问题

专题分析

有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差。

如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，

那么：追及路程＝甲走的距离-乙走的距离

＝甲的速度×时间-乙的速度×时间

＝（甲的速度-乙的速度）×时间

即：追及路程＝速度差×追及时间。

例题分析

例1  姐姐放学回家，以每分钟60米的速度步行回家，12分钟后妹妹骑车以每分钟240米的速度从学校往家中骑，经过几分钟妹妹可以追上姐姐？

例2　小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

例3  小张从家到公园，原打算每分钟走50米。为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？

例4 　上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸又立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

例5　小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离。

例6　甲、乙、丙三人骑自行车旅行，出发时约好到某地集合。甲、乙两人早上6时一起从家中出发，甲每小时行15千米，乙每小时行12千米，丙因早上有事，到8时才从家里出发，下午6时，甲、丙同时到达某地。问：丙在何时追上乙？

6.火车过桥问题

专题分析

在简单的行程问题以及稍复杂的行程问题（相遇问题和追及问题）中，是把运动的人或物体都看作是一个质点的运动，人或物体本身的长度不再考虑。如果我们在研究物体运动的过程中，既考虑由于运动而涉及路程、速度和时间的关系，又涉及运动物体本身的长度，那么就出现一种特殊的行程问题——火车过桥问题。

例题分析

例1    一座大桥长640米。一列火车车身长260米，以每秒20米的速度行驶，从火车上桥到离桥共需要多少秒？

例2　一列客车通过840米长的大桥需要52秒，用同样的速度穿过640米长的隧道需要44秒。求这列客车的速度及车身长度各是多少？

例3　某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒，客车长105米，每小时速度为28.8千米，求步行人每小时行多少千米?

例3　某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒，客车长105米,每小时速度为28.8千米，求步行人每小时行多少千米?

例4　甲乙两列火车,甲车每秒行22米，乙车每秒行16米，若两车齐头并进，则甲车行30秒超过乙车；若两车齐尾并进，则甲车行26秒超过乙车。求两车各长多少米?

例5　一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？

例6     铁路旁边有一条公路与铁路平行，一列长160米的火车以每小时54千米的速度向东驶去。上午7时10分迎面遇上向西行走了一位工人，10秒后离开这位工人；7时20分又迎面遇上向西行驶的摩托车，5秒后离开摩托车。问摩托车将在什么时间追上工人？