[关键词] 数  形  数形结合

[正文]

新课标的修订，从原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本思想、基本活动经验。知识和技能是数学的“双基”，而数学思想方法则是数学的灵魂。“数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而逐步展开的。而数和形的关系正如我国著名的数学家华罗庚所写的诗一样：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”

“数”与“形”之间的关系实际上反映了事物两个方面的属性，而数形之间的结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。

一、以形助数

根据数学问题中“数”的结构，构造出与之相应的集合图形，并利用几何图形的特征，规律来研究解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字讨论。在这里我们暂且称之它为“以形助数”， “以形助数”其实指在我们数学学习的过程中，经常会有抽象的数学概念和复杂的数量关系，而我们往往可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法，以便于我们对其进行分析和理解。 “以形助数” 中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。而小学阶段常用第一种或第二种，第三种则在高段中偶尔有出现。那么“以形助数”该如何运用到课堂中去呢？请看：

(一)用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率

　　用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。 众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。例如：中年级学生学习“求比一个数的几倍还多几(少几)”的应用题时，学生对“几倍多几”或“几倍少几”较难理解，为突破这个教学难点，我设计了右面的图形：

　　结合图形，让学生说：有6个□，△的个数比□的3倍还多4个；也可以说：有6个□，△的个数比□的4倍少2个；

　　接着，出示下面的问题：

　　(1)□有6个，△比□的3倍多4个，△有多少个？

　　算式：6×3+4=22个

　　(2)□有6个，△比□的4倍少2个，△有多少个？

　　算式：6×4-2=22个

比较两题的算法，都要分两步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上或减去跟整倍相差的数。

　　这一段教材，一般的教法是：先教求比一个数的几倍多几的数，再教求比一个数的几倍少几的数，最后综合练习。我把这两个相关的内容结合起来一起教，并借助图形的帮助，学生容易理解，比分开教还理解得清楚，学生的思维也更灵活。如自编应用题时，有的学生编了：“皮球的个数比足球的4倍少3个，也就是比足球的3倍多2个，足球有多少个？”这题编得富有创造性，这是用一般教法所不能达到的，如果没有图形的帮助，这样的教学效果也是不可能达到的。

(二)借助表象，发展学生的空间观念，培养学生初步的逻辑思维能力

　　儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。

　　例如：在教学长方体的认识时，我让学生用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，思考如何围成一个长方体。根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪一个实物很相似。如已知长22cm，宽8cm，高3cm，学生手势比划后说这长方体与铅笔盒很相似；又如长4cm，宽2cm，高1cm，手势比划后，想象出与一块橡皮相似等。

　　又如，教学求圆锥体积，推导出公式后，我引导学生这样想：每一个圆

　　即得到圆锥体积。

　　接着，我还运用运动变化的思想进行教学，使学生的认识进一步深化，并进行辩证唯物主义观点的启蒙教育和发展空间观念。出示静态的等底等高的圆柱体和圆锥体(图①)，然后运用电教手段使它们变为动态。

　　(1)把圆锥的高升高到原来的3倍，圆柱不变(图②)。这时两者之间的体积关系怎样？

　　(2)把圆锥还原，而把圆柱升高到原来的3倍，这时，两者的体积关系怎样？(图③)

　　(3)把圆柱和圆锥的高同时升高到原来的3倍，它们的体积关系又怎样？(图④)

　　这时，学生的思维非常活跃，想象也很丰富，回答同一问题，有各种不同的思路。如第(①)题，有的同学先把升高了的圆锥想象为圆柱，那么这个想象中的圆柱体积是它左面的圆柱体积的3倍，但

　　积一样大。有的学生则想到，圆锥的高扩大到3倍，这3倍与原来圆锥的

　　除了想出圆柱高是原来的3倍，体积就是圆锥的9倍外，有的学生把升高的圆柱看作3个圆柱，每个圆柱是右面圆锥的3倍，3个圆柱的体积共是9倍。学生多角度地灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化。

又如解决问题中，我们也往往会借助线段图来理解题中的数量关系，从而来解决问题；再或者利用韦恩图等表示出问题中的包含关系，使问题简单化。如在解决问题中有这样一题“某班有57人，报名参加数学活动社团的有30人，参加英语口语社团的有38人，两项都没有参加的有7人，那么同时参加数学活动和英语口语的有多少人？”解决这一题我们就可以很好地利用韦恩图来表示此题中的数量关系。如下图，从图中我们可以清楚地看出，参加学生社团共57-7=50人，而参加英语口语和数学活动之和是30+38=68人，68比50多18人，而这18人正好就是参加两项的人数，也正好是英语口语和数学活动两者的交集部分，即同时参加了数学活动和英语口语两项学生社团。

二、以数解形

有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系（如算式等），以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。它往往借助于数的精确性来阐明形的某些属性，表示形的特征、形的求积计算等等，而有的老师在出示图形时太过简单，学生直接来观察却看不出个所以然，这时我们就需要给图形赋予一定价值的问题。

如《长方体的认识》学生在后来计算有关特殊长方体的表面积或是棱长之和等问题中总是弄不清要计算哪几个面，学生只简单背出了长方体的有关特征，具体如何运用却不知所以然，所以我后来在教学人教版五年级下册《长方体的认识》一课中，在接下来的进一步认识长方体的过程中，先出示6、12、8三个数字，让学生从这三个数字中找找长方体的面、棱长、顶点的特征……，学生通过小组合作，找出长方体的特征：6个面，12条棱，8个顶点

6个面中有两个相对的面是相等的（当有2个相对的面是正方形时，也会有4个面相等），12条棱中有4条相对的棱相等（当有2个相对的面是正方形时，有8条棱相等），学生在加深三个数字与长方体特征之间联系后，对后来求长方体的表面积、棱长之和有很大的帮助，例如计算抽屉、柱子的表面积时，先弄清这样的长方体有几个面，就计算几个面的面积，如抽屉有5个面，少了上面，求的方法也呈现多样化，或用6个面面积减去上面面积，或是计算前后左右4个面面积，再加上底面积等；而柱子只有4个面，求粉刷柱子的表面积，则只需要求前后左右4个面就可以了，避免了犯不必要的错误。

 通过鼓励学生仔细观察几个数字和长方体特征之间的关系，从具体的事物中抽象“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，让学生体会数字所包含的图形特征，再借助“数”的运算解决有关几何问题（如求几何体的表面积、总棱长、积等）。这样，让学生们在“见形”过程中有目的去“思数”，在“思数”的过程中利用“数”来解释“形”，这样既训练了学生的思维能力，又会收到更好的效果。学生一看到6、12、8等数字时，马上能联系到长方体各个特征，在脑子中建立起长方体的模型，象这样有的放矢的在一定时间里重点渗透数形结合的数学思想方法，既可以培养学生在以后的学习中逐渐形成一定的数感，同时在渗透数学思想的过程中，让学生感悟“数形结合”思想的好处。

三、数形结合，为建立函数思想打好基础。

小学数学中虽然没有学习函数，但还是慢慢的开始渗透函数的思想。为初中数学学习打好基础，如确实位置中，用数对表示平面图形上的点，点的平移引起了了数对的变化，而数对变化也对应了不同的点。此外，在六年二期学习的比例中，让学生通过描点连线来表示正比例函数的图象，发现成只要是正比例关系的式子，画在坐标图中是就一条直线。从而体会到图形与函数之间密不可分的关系。

总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。