罪犯抓豆问题简析

5个囚犯，分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆，规定每人至少抓一颗，而抓得最多和最少的人将被处死，而且，他们之间不能交流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活机率最大？？

提示：

1，他们都是很聪明的人。

2，他们的原则是先求保命，再去多杀人。

3，100颗不必都分完。

4，若有重复的情况，则也算最大或最小，一并处死。

 

简析如下：

一、原题分析

1、原题完善：

因为原题描述重复则算作最大或最小，那么其他罪犯必定要求执法者确定重复者到底算作最大还是最小，则不重复者有概率存活。所以上述问题描述并不完善，根据原题本意，提示4中应改为“若有重复的情况，则一并处死，仍按大小排序。”（注：重复着必定为中间数，多杀人原则。）

2、原题分析：

   A、根据题目可知以下四点，按强制性排列：

（1）       前面罪犯必须要留有后面所有罪犯都能抓到一颗豆的权利；

（2）       100颗不必都分完；

（3）       “保命”为存活上限，“多杀人”为必死下限；

（4）       都很聪明。

B、

（1） 此题并非纯粹的概率题，其中最关键的影响因素为人性。

那么前四个囚犯根据保命原则，首先明白不能让后面人取得前面人的平均整数，从而前面四个囚犯必定会选择四个连续的自然数，否则会大大提升自己的死亡率。其次，都会知道{22、21、20、19、18}是一组特殊的组合。（染指大等于22者必死！换言之，前面抱有生存幻想且多杀其他人的四人就必定会留下足够多的豆子给5号囚犯）

 

！！！！注：可以跳过下面的“其次”分析（此处分析是为了改变原题，加入人性可变概率而做的铺垫）

 

其次，1号囚犯必定会意识到自己绝对不会选择过激的数（下面1号所选颗数均设为x），那样只会令2号囚犯决定了其他人的生死，2号必定会选择Y，令Y<x而只给3号剩下Z，1<=Z<Y，4、5号囚犯则均为一颗，从而必定害死4、5号囚犯，3号能否存活由x决定（由极限公式可得x+Y+Z+1+1=100，当x>96,违规；当x=96时，颗数分配为{96、1、1、1、1}，所有人必死；当49<=x<96时Y可以取到3<Y<x,那么2号必活，其他人必死；当x<49时，由于2号不会令Y>x,所以只能给后三个囚犯留下>3的豆子。同理3号也成为必活，4、5号必死，由此可知x会推出一个死亡临界线，后面称之为必死区域，并且会出现上下两块，，x的大小临界值在后面的必死区域中会指明），而1号自己则为最大被处死。所以1号会在一个区间选择对自己有利的颗数作为后面囚犯抓豆的基数。即1号至少会选择给予2、3、4号选择颗数的权利，同时前面四个囚犯必定会选择四个连续的自然数。（此处也可简单理解为，前面囚犯有影响后面囚犯抓豆颗数的能力，相反后面囚犯也有影响前面囚犯存活几率的能力，求生本能决定了这两者之间的统一与矛盾。）

（2） 综合A及B（1）分析，必须明白——5号囚犯必死！！！（他没有生存机会，要么与前面重复，要么最大或者最小。）

（3）根据“多杀人”的原则，因为1号的基数x不会过大，所以5号会有攻击的机会，即攻击前四个人的中间数，就至少有4人死亡；而同理，4号也会意识到5号的行为会将自己变成最后一个不定选择，无法不重复的取得1、2、3号的平均数整数，所以自己必定会成为前四者中最大或者最小，所以只有选择与5号相同的方法攻击前三个囚犯的平均数，那么4、5号与前三个囚犯中的平均数重复，导致三人重复而死，令外两个则因为最大、最小而死。（还有多人重复死亡情况，虽然此情况为必死选择，违反求生本能人性，但作为一种可能可以归结于此）

原题总结，可知原题保命原则和多杀人原则为必死黑洞，B（3）情况必然出现，所以最终五名囚犯全部死亡，无存活概率。

 

二、强调人性（不影响其他描述）

   改变原题“多杀人”原则为——先求保命，再去多杀人或放弃杀人。

   此时便增加了人性的一念概率与仇恨问题。

   1、所谓，人之将死，其言也善。尤其是五个聪明的囚犯，肯定会明白此题目为执行者玩弄他们的游戏，所以必死之人5号囚犯存在的是一念概率问题：或杀人——攻击中间数，或放弃杀人——取最值（执行者规定的抓豆顺序，注定5号必死，而前面四个囚犯也只是选择了你死我活的求生本能，5号无充分理由怨恨前四个囚犯。）

  2、前面四个囚犯有生存的几率，但是至少一人会死，所以前面囚犯的选择会决定后面囚犯的行为，即上面注释的“其次分析”。前面囚犯的选择会导致后面囚犯的仇恨值，甚至引起自杀性的中间数攻击。所以第一个人的基数选择x必须要把握好，1号囚犯的原则是首先，不能让自己必死；其次控制好2、3号的选择范围，至少要给4号囚犯选择存活的机会。从而导致x的取值期间问题。

 

  上面解释了x过大时的1号必死情况及提到了必死区域，下面图文展示上块必死区域（设为死亡区域A）及下块必死区域（设为死亡区域B）。

 

（a）必死区域A的x下限：x=22，为实体必死区域。具体如下图展示

1号       2号     3号   4号      剩余豆子（5号）

 

                            25                  6

24 

                            21                  10

          23              24                  10

                     21

                            20                  14

22                       24                  10

                     23

                            20                  14

            21

                            23                  14

                     20

                            19                  18

 

上图分析，当x=22时，五号囚犯为最小，故而2、3、4号囚犯会在夺取5号攻击机会的前提下尽量小，以必活。也不存在冒险取大杀人之说，否则杀害的只是自己。从而会出现上图最后一项数据{22、21、20、19、（18）}。

所以，当x=22时1、5号罪犯必死，2、3、4号罪犯必活。同时都认识到，只有此时相当于自动取最（5号没有攻击机会），22为必死区域A下线，无人会碰，所以1号罪犯绝对不会染指x>=22的数。；然而当x<22时就意味着即便5号没有存活机会，但是5号囚犯也有了必死杀人机会——尤其是攻击前四人的中间数字，从而也就不存在了必活情况。

 

必死区域B的上线x约等于2，为虚体必死区域。因为取一颗豆子必死，所以此时都会趋利避害，进而导致2为高危数字。

1号囚犯同时还会意识到他的取值x会影响到2、3号囚犯的选择，进而决定了4号囚犯有无两种选择的情况且不触及危险数字，这会直接影响到1号自身的死亡几率，及4号的仇恨值。此x=3，如下图：

 

1号       2号     3号   4号      剩余豆子（5号）

 

                           6

                     5

                           2

            4              5

                     2

                        

   3                       5

                     4

 

           2

                          

                    

                          

空处为前四人绝不选择的1。那么上图最终只会存在最上面的两种情况，存活的前提是：5号放弃攻击并且取最，4号抱有求生的幻想,取前四人的最值，则2号存活概率最大，1、3、4号必死一人且存活率极低，全在5号和4号的一念又一念之间。

同理可知，x=4时，4号在最幻想的情况下也只有7种可能，1或2种选择，所以1号会放弃x<5的数以提高4号的可选择机会，进而尽量平衡四人的存活概率，提高自身的存活几率。

 

（b）通过上面（a）的分析知道了死亡的危险取值，所以1号至少令4<x<22

下面以具体数字讨论谁的存活概率较大情况。

如下图所示：x=21时

 

 

 

 

 

 

1号       2号     3号   4号      剩余豆子（5号）

 

                            24                  10

                     23

                            20                  14

            22              23                  14

                     20

                            19                  18

   21                       23                  14

                     22

                            19                  18

            20

                            22                  18

                     19

                            18                  22

上图分析如下：

上图实际上不存在>=22的情况，否则为找死，所以只能出现最后一组数据{21、20、19、18，（22）}此时，存活前提，5号取最，1、4号存活率降低；5号杀人，则只有2、3号中一人存活；实际上也就影响到了4号的仇恨值，如果四号自杀攻击，则攻击选取20，最终至少四人死亡，因为4号比5号先决定，所以2号可以通过选择先避开4号可能的自杀攻击以提高存活率，因为聪明的2号在x=21的情况下可以选择19，而3号只能选择20，否则死亡几率更大。

由此可知2号存活几率相比之下较高。

当x=20如下图

1号       2号     3号   4号      剩余豆子（5号）

                         23                 14

                  22

                         19                 18

         21              22                 18

                  19

                         18                 22

20                       22                 18

                  21

                         18                 22

         19

                         21                 22

                  18

                         17                 26

上图分析如下：

2、3号囚犯会选择最有利路径， 4号罪犯选择生或杀，而5号决定杀或仁。所以只会出现最后两种数据情况，如果3号罪犯选择21则4号存活概率提高，必定选择18，三号存活率降低。所以只有最后两种情况，4号的仇恨值不会很高，没有触及危险数字。所以即便5号攻击1、4、5号死亡，2号与3号同分5号的攻击几率存活。

以上总结，当x=20，x=21时

2号的存活几率最大，因为他总能通过确定的1号选择x，调控3号相对于1、4号较为优势的选择范围，进而影响3号的选择路径，从而提高自身的存活概率。尤其是其中能有效的避免4号与5号不同时的自杀攻击，是其他人不能做到的，此恩赐于抓豆的顺序。

当x=19时如下图：

1号       2号     3号   4号      剩余豆子（5号）

 

                         22                 18

                  21

                         18                 22

         20              21                 22

                  18

                         17                 26

19                       21                 22

                   20

                         17                 26

         18

                         20                 26

                  17

                         16                 30

上图分析如下：

首先3号囚犯不会允许前面两种情况出现，即自己远离21，不让4号触及22，以避免4号的自杀攻击，那样只会提高所有人的死亡率；同理2号则不会允许前四种情况的出现，所以2号会按照x-1的原则使3、4号尽量不触及危险数字22，且尽量使自己不为靠近危险数字的最值。

同理可知，当5<x<19时，2号总能通过x+1或者x-1以远离危险数字，此时，在五号放弃杀人且4号求生的前提下出现存活概率：

设定5号杀人概率0，取最值概率1，则取最大或者最小均为1/2。

1号必死概率为最大或最小两种情况，即最大与最小必死概率均为1/2*1/2*1/2*1/2

得出

1号存活概率1-2*（1/2*1/2*1/2*1/2）=7/8

2号概率等于1号存活概率=7/8

注：2号与1号为两个连续自然数，不存在中间数，换句话讲在所有的16种可能中1、2号最大的死法只有一种可能，最小的死法也只有一种可能，即最值死法为2/16。

3号的存活概率则为1-4/16=3/4

4号的存活概率则为1-8/16=1/2

5号的存活概率终归为0

 

改题总结：因为5号的人性不可控制因素，更有4号的微妙仇恨与求生因素，本文并未将所有情况进行完全分析，但在同一条件下所有人的存活概率只会同时降低，但只是降低的多点少点而已，不会出现反转。而1号也一定会将x定位于5<x<19。

 

如有差错，敬请指正。