【课题】等差数列定义及通项公式

【学习目标】

知识目标： 1.通过生活中的实例归纳并理解等差数列的定义;

2.探索并掌握等差数列的通项公式,学会简单的应用;

能力目标： 培养学生的观察、分析、归纳能力；

情感目标： 培养学生学习数学的兴趣和应用意识；

【学习重点】 1、等差数列的概念。2、等差数列的通项公式的推导过程及应用。

【学习难点】 1、用不完全归纳法推导等差数列的通项项公式

2、用数学建摸的思想解决实际问题

3、通项公式的灵活运用

【学习方法】探究式、小循环多反馈

【学习课时】第一课时

【教学过程】

【新课导入】创设情景

上节课我们学习了数列的定义和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式。这些方法从不同的角度反映数列的特点。今天我们来学习一类特殊的数列。

下面我们观察这样一些实例：

（1）第25届到第28届奥运会举行的年份依次为 

      1992，1996，2000，2004 .

（2）在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：

      1682，1758，1834，1910，1986

（3）某舞蹈队对舞蹈员进行排队，队员身高分别为（单位：m）

      1.68, 1.66, 1.64, 1.62, 1.60, 1.58

请同学们根据规律在（    ）填上合适的数

1992，1996，2000，2004 ，（    ）

1682，1758，1834，1910，1986，（    ）

1.68, 1.66, 1.64, 1.62, 1.60, 1.58 ，（    ）

观察并思考:请同学们仔细观察一下,看看以上三个数列有什么共同特征？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列。

【新课讲授】

（一）.等差数列定义

       一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母 表示.

强调：① “从第二项起”满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

a_n+1-a_n=d(n≥1)

     练习1：指出刚才实例中各等差数列的公差；

练习2：判断下列数列是否是等差数列

（1）  9 ，8，7，6，5，4，……；

      （2）  -6，-4，-2，0，……；

（3）  1，-1，1，-1，……；

（4）  1，2，4，7，11，16，……；

（5）  a, 2a, 3a, 4a,  ……；

（6）  0，0，0，0，0，0，…….

指出：其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0

强调：1、公差可以是正数、负数，也可以是0

 2、对于一个无穷数列，通常在写出它的前n项后，接着写省略号，这时要从上下文能知道省略号写出的项是什么

想一想：设{a_n}是一个首项为a₁，公差为d的等差数列，你能够写出它的第n项a_n吗

（二）、等差数列的通项公式（重点部分,在迭加法的证明过程中，采用启发式教学方法。）

 通项公式: a_n=a₁+(n－1)d  （n∈N^*）

      推导过程:

若等差数列 的首项是a₁,公差是 ,则据其定义可得:

               a₂－a₁=d

               a₃－a₂=d

a₄－a₃=d

   ……

               a_n-2－a_n-1=d

a_n－a_n-1=d

等式迭加得到等差数列的通项公式

a_n=a₁+(n－1)d (当n =1时，上式两边都等于a₁)

 n∈N^*，公式成立 

(三)讲解范例：

例1：求等差数列 12 ，8 ， 4 ，0 ，‥‥的通项公式与第10项;

解：因为，a₁=12,d=8–12=–4，所以这个

等差数列的通项公式为

a_n=12+﹝n–1﹞×﹝–4﹞

即    a_n=16–4n

所以，a₁₀=16–4×10=－24

练习：求等差数列 4 ，7 ， 10 ，‥‥的通项公式与第6项;

例2：等差数列 –1 ， 2 ，5 ，8，‥‥的第几项是152？

解:根据a₁=－1，d=2－﹝－1﹞=3，a_n=152,从通项公式得出

152=－1+(n－1)

解得     n= 52

练习：等差数列 3 ，5，7，9，‥‥的第几项是21？

  评注∶a_n = a₁+(n－1)d  中 ，a_n , a₁ , n  ，d  这四个变量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个 量；  

例3 （实际建模问题）第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4 年举行一次.奥运会如因故不能举行,届数照算.
  (1) 试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;
  (2) 2008年北京奥运会是第几届?
      2050年举行奥运会吗?

解：(1)由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列,

其通项公式 a_n =1896+4(n-1)

=4n+1892

       (2)假设a_n =2008, 即4n+1892=2008，

解得： n=29

假设 a_n =2050，即2050=4n+1892

此方程无整数解

答:所求通项公式为a_n=4n+1892 ；2008年是第29届奥运会,2050年不举行奥运会.

练习:|1、全国统一鞋号中，成年男鞋有14种尺码，其中最小尺码是23.5cm,各相邻两个尺码都相差0.5cm.其中最大的尺码是多少?

2、建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5.8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？

【课堂小结】

1.等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数
2.等差数列的通项公式 a_n = a₁+ (n － 1)d（ n∈N^* ）会知三求一

3．用“数学建模”思想方法解决实际问题

【数学语录】

数学家克莱因说过：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵独特的创作。音乐能激发或抚慰人的情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。

【作业布置】

必做题：课本11页A组1,2题

  选做题：课本11页 B组 第6、7题

【教后反思】