公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。

　　三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应(如图五 )，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

　　印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。

　　18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。Collins将牛顿的结果告诉了詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到了这一结果。欧拉的《无穷小量分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年，欧拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP(即函数线)相互之间所取的比值，sinα=MP/OP，cosα=OM/OP，tanα= MP/OM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。欧拉的这个定义使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。

　　三角学输入中国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将sine译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了“正弦”一词的由来。 

 

tan α ·cot α=1；　sin α ·csc α=1；　cos α ·sec α=1

 

tan α=sin α/cos α；　cot α=cos α/sin α

 

https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=127/sign=d723b489b33533faf1b6972c9fd1fdca/1ad5ad6eddc451da4f30316cb4fd5266d1163276.jpg  

 

如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1).对角相乘乘积为1

2)阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如： ; ;　 .

 

 

（奇变偶不变）

对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。

（符号看象限）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

公式一	公式二
https://gss1.bdstatic.com/9vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=190/sign=88f2285bc611728b342d882bf8fec3b3/faedab64034f78f0aec43d3972310a55b2191c28.jpg  sec(2kπ+α)=sec α csc(2kπ+α)=csc α	https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=138/sign=99e9d8a3fadcd100c99cfc224a8a47be/43a7d933c895d1430f65968d71f082025aaf0708.jpg sec(π+α)=-sec α csc(π+α)=-csc α
公式三	公式四
https://gss1.bdstatic.com/-vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=122/sign=535e482d0d2442a7aa0ef9a7e342ad95/8601a18b87d6277f532040962a381f30e924fc6a.jpg  sec(-α)=sec α csc(-α)=-csc α	https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=139/sign=52b34b6dd5ca7bcb797bc32c87086b3f/b17eca8065380cd7b19ed043a344ad345882819f.jpg  sec(π-α)=-sec α csc(π-α)=csc α
公式五	公式六
sin(α-π)=-sin α cos(α-π)=-cos α tan(α-π)=tan α cot(α-π)=cot α sec(α-π)=-sec α csc(α-π)=-csc α	sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)=-tan α cot(2π-α)=-cot α sec(2π-α)=sec α csc(2π-α)=-csc α
公式七	公式八
sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=−sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα	sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα
公式九	公式十
sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sec(3π/2+α)=-cscα csc(3π/2+α)=secα	sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα

三角和

积化和差公式

 

 

 

 

 

和差化积公式

 

只有同名三角函数的和差能够化为乘积；正弦和余弦的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2] ，因此乘以2是必须的；余弦的和差化作同名三角函数的乘积

 

https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=303/sign=399e3a2eecdde711e3d245f694eecef4/a71ea8d3fd1f41347bf68f552c1f95cad0c85edc.jpg   　 帅+帅=帅哥；正弦加正弦，正弦在前面

https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=303/sign=bfa277e3377adab439d01d43b8d6b36b/b3fb43166d224f4a671fb7d808f790529922d173.jpg 　　帅-帅=哥帅；正弦减正弦，余弦在前面

https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=307/sign=9c5fbb162f738bd4c021b4319689876c/54fbb2fb43166d2209a1d15f472309f79152d223.jpg 　　哥+哥=哥哥；余弦加余弦，余弦全部见

https://gss0.bdstatic.com/94o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=315/sign=f150434cd1a20cf44290f8de430b4b0c/2cf5e0fe9925bc31f4b2c5535fdf8db1ca13700a.jpg 　哥-哥=负嫂嫂；余弦减余弦，余弦（负）不想见

 

 

　　　　推导方法：https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=480/sign=db2046cd2e7f9e2f74351c002f31e962/d6ca7bcb0a46f21fc4a2aa78ff246b600c33ae03.jpg

 

 

 

不加推导给出：

https://gss1.bdstatic.com/-vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s=258/sign=9addd20c8382b90139adc4364b8da97e/562c11dfa9ec8a133606aecbfe03918fa0ecc0f9.jpg 

 

四倍角公式

 

sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sin^2a-1)]

 

cos4a=1+(-8*cos^2a+8*cos^4a)

 

tan4a=(4*tana-4*tan^3a)/(1-6*tan^2a+tan^4a)

 

 

五倍角公式

 

 

 

应用欧拉公式： .

上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：

所以

 

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

 

 正弦定理、余弦定理

 

延伸定理：第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

    a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A

 

正切定理

 

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证明：

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地，我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ。

 

 

 

 

http://s16/mw690/002gji9tzy7jAbPdAWXbf&690

http://s8/mw690/002gji9tzy7jAbQkx2Tf7&690