例析高考数学中的“分段”数列

徐辉

本文所述之“分段”数列，是指以“分段”的形式给出的数列，既可以是以分段的形式给出数列的通项公式，也可以是以分段形式给出数列的递推公式.高考中涉及的“分段”数列一般以分两段较多，如最常见的，也有少数是分为三段的，三段以上的基本没有.“分段”对同学们来说是个逻辑上的难

 

点，而数列又是高中数学最为重要的考点之一，因此，“分段数列”在高考中往往以“把关题”的面目出现，不仅考查学生的基础知识，更侧重考查学生的运算能力、理解能力、推理能力、论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法等.

一．数列的通项公式是分段的形式

（一）数列的前若干项与后若干项具有不同的通项公式而形成的“分段数列”

例1（2007上海）.数列中， 则数列的极限值（ ）

  

     Ａ．等于      Ｂ．等于       Ｃ．等于或       Ｄ．不存在

分析：此数列的前1000项与后面的项的通项公式是不一样的，但数列的极限与数列的前有限项是没有关系的，因此，只需考虑当n≥1001时数列的通项公式来求极限.

解：，选B.

 

例2（2007上海）.如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”． 例如，数列与数列都是“对称数列”．

（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；

    （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；

    （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．

分析：此题首先大家通过阅读要“读懂”什么叫“对称数列”.通过分析大家可以知道“对称数列”它的前若干项与后若干项通项公式是不一样的，它们之间存在着一种“对称”关系，而解此题的关键就在于理解并应用这种“对称”关系.尤其是第三问，由于数列的前后若干项的通项公式不同导致它们的前项和也只能以“分段”的形式给出.

解：（1）由题意，数列的公差为，数列为．   

（2） 

      67108861． 

    （3）． 由题意得 是首项为，公差为的等差数列．

     当时，． 

     当时， 

                          ．

     故    

 

 

（二）数列的奇数项与偶数项具有不同的通项公式而形成的“分段数列”

例3.已知数列的通项，求其前项和．

分析：很显然，此数列的奇数列项与偶数项的通项公式不一样，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，因此我们在求其前项和时出必须对奇数项与偶数项分别求和.但要注意奇数项并不是以1为首项6为公差的等差数列，而是以1为首项12为公差的等差数列；偶数列项也不是以为首项公比为2的等比数列，而是以为首项公比为4的等比数列.

解：当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，

∴

当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，

∴

所以，

 

例4（2010天津）.在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.

（1）证明成等比数列；

（2）求数列的通项公式；

   分析：本题最核心的条件当然是成等差数列，且公差为2k.对于题（1），可利用这一核心条件写出数列的前6项，即知成等比数列，而对于题(2),则可利用这一核心条件，先得到所有奇数项中的后一项与前一项的关系，从而通过累加的方法等到奇数项的通项公式，然后再得到偶数项的通项公式.

解：（1）证明：由题设可知，，，，，

.从而，所以，，成等比数列.

（2）解：由题设可得

所以

                    .

由，得 ，从而.

所以数列的通项公式为.

 

 

二．数列的递推公式是分段的形式

（一）数列的项数为奇数或偶数时其递推公式不一致而形成的“分段数列”

例5（2005北京）设数列{a_n}的首项a₁=a≠，且,

记，n＝＝l，2，3，…．

（1）求a₂，a₃；

（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）求．

分析：此数列当项数为奇数或是偶数时，它的后一项与前一项的递推关系是不一样的.解决此类问题必须先弄清楚项数是奇数或偶数所对应的递推关系是什么，千万不能弄反了，然后再利用递推关系进行求解.必要的时候可先列出若干项，猜想出结论然后再进行论证.

解：（1）a₂＝a₁+=a+，a₃=a₂=；

（2） a₄=a₃+=a+, a₅=a₄=a+,

所以b₁=a₁－=a－, b₂=a₃－=(a－), b₃=a₅－=(a－),

猜想：{b_n}是公比为的等比数列·

            论证如下：因为b_n+1＝a_2n+1－=a_2n－=(a_2n－1－)=b_n, (n∈N*)

            所以{b_n}是首项为a－, 公比为的等比数列·

       （3）.

 

 

（二）数列的项为奇数或偶数时其递推公式不一致而形成的“分段数列”

例6(2009湖北).已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

  分析：此数列分段的原因在后一项依赖前一项是奇数还是偶数来确定，在这种情况下，我们只能从讨论数列的项是奇数还是偶数来加以考虑.

解：若为奇数，则,则不能得到为正整数，矛盾，故必为偶数，可得=2.

若为奇数，则矛盾，故必为偶数，可得=4. 继续讨论如下：

     

 

 

 

 

故答案为4，5，32

 

 

（三）数列的项比某个数大或小时其递推公式不一致而形成的“分段数列”

例7（2008上海）已知以为首项的数列满足：．

（1）当时，求数列的通项公式；

（2）当，，时，试用表示数列前100项的和.

    分析：此数列后一项与前一项的关系依赖于前一项的大小。对于这样的数列，我们对其“特性”不明，最好先具体写出它的前几项，以观察研究它的特点，然后再进行求解.

解：（1）由题意，，可知此数列呈周期性变化，于是可得：

(2) 当时，，，，，，

，，，

 

 三．一段是通项公式另一段是递推公式的分段数列

例8.将边长分别为1、2、3、4、…、n、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均数为.记数列满足,.

（1）求的表达式；

（2）写出的值，并求数列的通项公式.

分析：题（1）是容易得到解答的，对于题（2）中的数列，其第一段是给出项与项数之间存在的关系，另一段是给出前一项与后一项之间的关系，这时可先处理第一段的通项公式，然后再研究另一段与前面这段是否有联系，根据它们的联系进行求解.

解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为，第2个阴影部分图形的面积为，……，第n个阴影部分图形的面积为.

故

  （2）, ,

     当n为偶数时，

     当n为大于1的奇数时，

     故.