在分类活动中如何培养学生的有序思维能力

——一四年级“三角形分类”

    近期准备讲四年级下册数学《三角形的分类》一课，从网上、教辅材料上找了很多相关的书籍，沉下心来从多方面，多角度来进一步了解分类及三角形分类的有关知识体系和理念。发现了王永老师撰写的《在分类活动中如何培养学生的有序思维能力》一文，文中的很多内容给了我不少启示，从网上没能转载此文，很有价值的一篇文章，作为再次学习，我把这篇文章敲进来，仅供我的同事们参考。

心理学认为，概念本质上就是一种分类的行为。通过“三角形分类”活动，不仅要识别特殊三角形的概念，厘清这些概念的逻辑关系，更为重要的是体验分类的过程与方法，培养学生的有序思维。

可是，很多“三角形分类”的课例却没有达成“过程与方法”的目标。下面先看一个教学片断，想想问题究竟出在哪里？

【教学片断】

师:老师选择了一些屏幕上出现的三角形放在材料袋里，请同学们给它们分分类。在操作前我们来看看提示（投影出示）：

A．你准备按什么标准进行分类？

B．可以把它们分成几类？

C．每类三角形都有什么特点？

师：请同学们先自己思考一下，然后再小组讨论，接着进行分类。

学生以小组为单位进行分类，教师参与到学生的分类活动中。当教师发现有的小组很快就分好时，及时指出：“老师发现有的小组很快同学很快就分好了，你们还能再尝试用另的方法来分类吗？”学生尝试按照不同的分类方法进行分类。

师：现在哪一组同学愿意为大家展示一下呢？

师：先告诉大家你们是按什么标准来分类的？

生：我们是按角分的。

师：共分成几类？

生：分了三类。

师：为了便于说明，请你把按角分类结果贴到黑板上来好吗？

学生将手中的三角形按角分类贴到黑板上，教师板书：按角分。

师：还有别的分类标准吗？

生：我们是按边分的。

……

【问题讨论】

上述教学片断具有代表性。学生小组合作，经历三角形分类的具体操作过程，并汇报了三角形“按角分”的分类结果。难道这还不算重视分类的过程与方法吗？问题出在：有操作却没有深度的数学思考。没有深度思考的操作是凭感觉走的，而感觉到的东西是不一定能把握和理解的。这个教学片断，过程似乎顺利、流畅，但需要反思的是：“按角分”是三角形的分类标准吗？“按边分”具体包括哪些分类标准？除了“按角分”和“按边分”的分类标准外，三角形还有其他的分类标准吗？

1、“按角分”是三角形的分类标准吗？

什么是三角形的分类标准？三角形的分类标准，其实就是某一类三角形的共同特征。因此，三角形的分类标准是可以据以判断任意一个三角形，是属于具有这个特征的一类，还是属于不具有这个特征的一类；两者必居其一，且仅居其一。这就是最基本的分类方法——二分法。

“按角分”是以三角形的角的特征为标准进行分类活动的统称，也可以说是三角形分类标准的一种范畴。所以，“按角分”不是三角形的分类标准。当学生说“按角分”时，应当追问：“按三角形的角的什么特征为标准分？怎么分？”

比如，可以先按“三角形是否有直角”的标准分，三角形分成“有直角”的和“没有直角”的两类。对于“没有直角”的这一类三角形，还可以继续按“是否有钝角”的标准分，又分成了“有钝角”和“没有钝角”的两类。

综合上述两次“二分法”，三角形最终分成了如下三类：

⑴有直角的三角形；

⑵没有直角，但有钝角的三角形；

⑶既没有直角，也没在钝角的三角形。

“按角分”的分类策略是多样化的。也可以先按“三个角是否都是锐角”的标准分，三角形分成“三个角都是锐角”和“三个角不都是锐角” 的两类（注意“不都是”与“都不是”的区别）。对于“不都是锐角”的这一类三角形，还可以继续按“是否有直角”的标准分，又分成了“有直角”和“没有直角”的两类。

综合上述两次“二分法”，也把三角形分成了如下三类：

⑴三个角都是锐角的三角形；

⑵三个角不都是锐角，但有直角的三角形；

⑶三个角不都是锐角，也没有直角的三角形。

上面两种“按角分”的不同策略，都把三角形分成了三类；通过对比不难发现这两种不同的分类策略所分成的类别是完全相同的。“既没有直角，也没有钝角的三角形”就是“三个角都是锐角的三角形”，把这一类命名为“锐角三角形”；“有直角的三角形”就是“三个角不都是锐角，但有直角的三角形”，把这一类命名为“直角三角形”；“没有直角，但有钝角的三角形”就是“三个角不都是锐角，也没有直角的三角形”，把这一类命名为“钝角三角形”。

综上所述，三角形“按角分”的分类标准包括：①是否有直角；②是否有钝角；③是否三个角都是锐角。其中任选两个标准按先后顺序都可以组成一种“按角分”的分类策略。每一个分类标准都对应着一种“二分法”，不同的分类策略都能殊途同归，把三角形分成三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

把“按角分”（或“按边分”）当成是三角形分类的标准，是一个常见的错误。这个错误造成了学生的一个盲区，看不到真正的分类标准及其“二分法”的重要作用，因此学生无法描述自己分类的思维过程,也无法说明自己的分类是否“不重复不遗漏”。

2、“按边分”，具体包括那些分类标准？“按边分”，学生说就是“按三条边相等不相等来分”。这样笼统的说法，还是没有把“按边分”的具体标准说清楚，因此也抓不住分类的头绪与思路。事实上,“按边分”包括的分类标准有：①是否三条边都相等；②是否有两条边相等；③是否只有两条边相等，等等。

⑴三条边都相等的三角形；

⑵只有两条边相等的三角形；

⑶三条边互不相等的三角形。

如果先按标准②分，三角形可以分成“有两条边相等的”和“三条边互不相等的”两类，再按标准①（或者③）又可以把“有两条边相等”的三角形分成“只有两条边相等的”和“三条边都相等的”两类。综上，三角形还是分成了上述三类。

把上述第（1）类命名为等边三角形。第（1）类和第（2）类的共同特征是“有两条边相等”，把它们合并为一类，并命名为等腰三角形。

要引起注意的是，标准①与②，或者标准②与③并不是互相排斥的，这一点很容易被学生忽视或混淆。所以，教材特别给等腰三角形和等边三角形下了定义，以帮助学生厘清这两种特殊三角形概念之间的从属关系。如果用等腰三角形与等边三角形等术语来描述“按边分”的分类结果，那么三角形只能被分成等腰三角形和非等腰三角形两类，等边三角形是特殊的等腰三角形。

3.要不要利用图来表示分类的结果？

如果三角形分类不仅是为了识别一些特殊三角形的概念，而且还要厘清这些概念之间的逻辑关系，那么利用图来表示分类的结果是一个明智的选择。但有不少教师却不敢采纳这种图示策略，以为此举超越了教学要求。

把概念视为集合，把概念之间的关系视为集合之间的关系，利用图（被称为韦恩图）来表示分类的结果，这些的确不是学生自己能够探究发现的。但是，图是学生直观理解数学的有效工具。只要把图示作为帮助学生理解概念概念及其关系的一条途径，那么这种渗透集合韦恩图的教学策略，是应该鼓励的。

4.出了“按角分”和“按边分”，还有别的分类标准吗？

上述教学过程，学生以为“三角形的分类”除了“按角分”或“按边分”以外，就没有其他分类标准了。其实不然，三角形还有其他的分类标准。比如，还可以按是不是轴对称图形的标准分，三角形可以分为如下两类：

（1）是轴对称图形的三角形（即等腰三角形）；

（2）不是轴对称图形的三角形（即三边互不相等的三角形）。

是轴对称图形的三角形（等腰三角形），可以继续按是否只有一条对称轴的标准分，有可以分成两类：一类是只有一条对称轴的等腰三角形，另一类是不值一条对称轴的等腰三角形（即有三条对称轴的等边三角形）。