1.三角形三条中线必交于一点

http://s3/mw690/7aa4b2fbtdfccd537ccc2&690
 

证明：如图，△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB三条边上的中线，

（1）设AD、BE相交于O1，连接D、E，∵∠O1ED=∠O1BA,∠O1DE=∠BAO1 ,∴△O1DE∽△BO1A→DE:AB=O1E:O1B=O1D:O1A=1:2 。

（2）设AD、CF相交于O2，连接D、F，

∵∠O2DF=∠O2AC,∠O2 FD=∠O2CA ,∴△DO2F∽△CO2A→DF:AC=O2F:O2C=O2D:O2A=1:2 。

（3）设设CF、BE相交于O3，连接E、F，∵∠O3EF=∠O3BC,∠O3FE=∠O3CB ,∴△O3EF∽△BO3C→EF:BC=O3E:O3B=O3F:O3C=1:2 。

∵O1、O2都在AD的1：2等分处，∴O1、O2重合；同理，O1、O3；O2、O3也重合，这便证明了三角形三条中线相较于一点，且交点以1：2的比例分割三条中线。

2.三角形三条角平分线交于一点

证明：如图：

http://s12/mw690/7aa4b2fbte00d77a4ee3b&690

在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC、∠BCA的角平分线，相交于点O，点O到边BC、CA、AB的距离分别是OG、OH、OI，根据角平分线的性质可知OI=OG；OH=OG→OI=OH，∴OI=OH。连接A、O并延长交BC于D，∵OI=OH、∴AD平分∠BAC。这便证明了三角形三角平分线交于一点。

3.三角形三条角平分线交于一点

证明：如图：

http://s11/mw690/7aa4b2fbte018b8e910fa&690

在△ABC中，BE、CF分别是边AC、AB上的高，并相交于O，连接A、O并延长交BC于D。连接E、F，∵∠BFC、∠AFC都是直角，∴B、C、E、F四点共圆→弦CE所对圆周角相等，即：∠CBE=∠CFE。同样地∵∠CEB、∠AEB是直角，∴A、E、O、F四点共圆（若四边形对角和等于平角，则四边形为圆内接四边形）→弦OE所对圆周角相等，即：∠OAE=∠OFE=∠CFE，∵
∠BOD=∠AOE（对顶角相等），∴∠ADB=∠AEO等于直角，∴AD是BC边上的高。这便证明了三角形三条高交于一点。