姓氏Air

李龙翔

数值分析

日期2014.3.24

数值方法：多项式插值与数值积分与常微分方程

数值方法乃现代科技力量之源

文章介绍了多项式插值方法、误差，数值积分方法和常微分方程数值解法。不同于一般数值分析课本中介绍的，这里用原函数的观点来介绍数值积分方法：原函数导数插值近似，并给出一般误差证明方法；在介绍常微分方程时，把其与数值积分也放到了一起进行比较。

1.多项式插值 

1.1 多项式插值公式

多项式插值公式主要指是Lagrange和Newton插值公式两种，Lagrange插值方法的基函数具有插值节点处为1的特性，故其系数即为原函数值；Newton插值方法能够在添加新的第n个插值点时利用上原n-1个插值点的插值公式。

 (1)Lagrange插值

http://s11/middle/002eDYuczy6Io8YwmQaba&690

基函数为http://s12/middle/002eDYuczy6Io8YHNRp1b&690每个都为n阶。

(2)Newton插值

http://s6/middle/002eDYuczy6Io8YOKLr65&690

其中系数为Newton差商系数http://s10/middle/002eDYuczy6Io8YVuY1f9&690使其经过新的插值点。

1.2 多项式插值唯一性

(1)多项式存在

（多项式插值定理）平面上互不相同的n个点，那么存在而且仅存在一个次数小于等于n-1的m次多项式，满足http://s9/middle/002eDYuczy6Io8YX1Og18&690。

经过n个点的d次多项式个数。多项式插值定理给出了插值多项式的存在性：存在而且仅存在一个次数小于等于n-1的多项式，使得http://s1/middle/002eDYuczy6Io8Z9iM070&690决定）。

(2)多项式唯一

对于各种不同的多项式插值方法来说（Newton、Lagrange），给出的多项式是否相同？答案是肯定的。用不同方法得到n+1个插值点的插值函数最高次是n次，例如http://s3/middle/002eDYuczy6Io8Zi14m52&690。

另外需要注意的是，如果原函数为小于n-1的m次多项式，那么即使给定n个点的函数值，插值函数的次数仍为m，小于n-1。具体举例来说，若http://s10/middle/002eDYuczy6Io8ZlljP49&690为最高次为5次的多项式，根据插值点函数值与插值函数值相等。

http://s8/middle/002eDYuczy6Io8ZnEy3f7&690

可以看出http://s13/middle/002eDYuczy6Io8ZrbwE0c&690。

1.3 多项式插值误差

多项式插值误差定理，主要使用高等微积分中罗尔定理证明。已知n个点即对应的多项式插值函数Pn-1(x)，误差通常是在利用插值函数计算这n－1以外的点时候产生的。那么考虑另加一个点x0到这组插值点中，新的插值多项式应为Pn(t) = Pn-1(t) + f[x1、x2...xn、x0](t - x1)(t - x2)...(t - xn)，新的插值多项式满足在x0处函数值与精确值f(x0)相等。那么误差R(x0) = f(x0) - Pn-1(x) = Pn(x) - Pn-1(x)

 

2.数值积分

2.1 数值积分

数值积分主要是用函数在节点处函数值http://s3/middle/002eDYuczy6Io8ZwzUS22&690的原函数观点来介绍，这样能够与前面插值近似的内容联系更紧密。

假设http://s11/middle/002eDYuczy6Io8ZHbxoba&690。

所以，这里把数值积分转化为了利用函数在区间内的导数值http://s1/middle/002eDYuczy6Io8ZJ11Cd0&690。

2.2 Newton-Cotes型数值积分误差

这里介绍一般的证明方法，将梯形公式的证明作为示例。

设：三点数值积分公式http://s14/middle/002eDYuczy6Io8ZQv6d2d&690处展开得，

http://s4/middle/002eDYuczy6Io8ZRh1Ve3&690

而http://s11/middle/002eDYuczy6Io8ZVO4yea&690处展开，得

http://s6/middle/002eDYuczy6Io902kXH95&690

http://s12/middle/002eDYuczy6Io905vcf2b&690

将http://s9/middle/002eDYuczy6Io909xskf8&690中，可得：

http://s9/middle/002eDYuczy6Io90bSfm18&690

上式与http://s15/middle/002eDYuczy6Io90dGH48e&690的方程组：

http://s7/middle/002eDYuczy6Io90fcKWf6&690

解得http://s13/middle/002eDYuczy6Io90h8mgdc&690

此时，积分公式http://s7/middle/002eDYuczy6Io90B3uK36&690】

2.3 Gauss型求积公式

前面Newton-Cotes型求积公式，积分节点（原函数http://s7/middle/002eDYuczy6Io90Byw606&690的导数值）都是在积分区间内等间距分布的。实际上这完全不必要，我们可以任意给定节点分布，或者根据被积函数的需要来选择积分节点。

Gauss型求积公式就是最大限度的利用积分节点的分布，使数值积分公式的代数精度达到理论最大值2n+1。

下面考察为何代数精度理论最大值为2n+1，根据代数精度的定义，设数值积分公式有m次代数精度，及对任意m次多项式http://s5/middle/002eDYuczy6Io90G0Wob4&690代入积分公式中，得：

http://s2/middle/002eDYuczy6Io90Jg7n81&690

http://s9/middle/002eDYuczy6Io90K6dab8&690

由多项式系数http://s1/middle/002eDYuczy6Io90MEDKa0&690作为未知数的m+1个方程组成的方程组：

http://s3/middle/002eDYuczy6Io90OVN012&690

此方程组中未知数个数公有2n+2个，故方程组个数也不超过2n+2，m最大值为2n+1。

3.常微分方程

3.1 常微分方程与数值积分的异同

1. 常微分方程求解，例如形式为：

   http://s10/middle/002eDYuczy6Io90URYJa9&690

而前面求解的数值积分问题的一般形式为：

求解http://s16/middle/002eDYuczy6Io90XWCr3f&690

可以看出，二者十分相似：都是求函数http://s15/middle/002eDYuczy6Io911aKW6e&690有关原函数的问题（原函数表达式或函数值）。不同之处主要有以下几点：

1. 数值积分中求解的是定积分，也就是一个数值而已；但是常微分方程一般是求解不定积分，也就是要求得到原函数。
2. 数值积分中给出的导数仅是有关http://s6/middle/002eDYuczy6Io911DXne5&690的，而常微分方程中的导函数是一个有关x、y的隐函数。

但是，常微分方程的数值方法是无法得到其原函数，只能用原函数的近似值来表示常微分方程的解。因此，在数值方法中二者本质完全相同。

本质相同，但是数值积分的方法是无法直接应用到常微分方程的解法中的，究其缘由，是因为我们无法确定常微分方程的解在区间节点的导数值http://s15/middle/002eDYuczy6Io91fdUy5e&690处导数值。

3.2 常微分方程的数值解法

下面给出了求解常微分方程的不同格式，这些格式不同在于两点：(1)在求解函数在节点处导数值近似值不同；(2)利用导数值进行线性组合的方法不同。

(1)Euler格式

http://s15/middle/002eDYuczy6Io91fJYqce&690

(2)改进Euler格式

http://s4/middle/002eDYuczy6Io91ix7tb3&690

(3)Runge-Kutta格式

http://s10/middle/002eDYuczy6Io91jXPrb9&690

 

参考文献：

TIMOTHY SAUER. Numerical analysis[M]. Beijing: Posts and Telecom Press.

冯康. 数值计算方法. 北京: 国防工业出版社, 1978

Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9 edition