有关特征方程部分

这不是文章，只是自己笔记的一部分，包含平时思考内容及一些想法。

1. 什么是偏微分方程标准形式
2. 怎么化为标准形
3. 为什么能够通过特征方程方法化为标准形，其中暗含了什么东西？（待讨论）
4. 未来需要继续思考内容

什么是标准型？

一般的偏微分方程的形式如下：

http://s15/middle/7a1c18a8zx6CPEvUR2u5e&690

其中的系数http://s9/middle/7a1c18a8zx6CPEvPOuk38&690都是自变量的函数。

化为标准形式，就是通过坐标转换，将这些http://s13/middle/7a1c18a8zx6CPEw2BPeac&690：

http://s6/middle/7a1c18a8zx6CPEw0I7z45&690

怎么化为标准形？

课本中化为标准形采用的是特征方程的方法。下面用书上例题来说明吧：

将Tricomi方程化为标准形

http://s2/middle/7a1c18a8zx6CPEw9mNPe1&690

解：（只解http://s3/middle/7a1c18a8zx6CPEw3ZXY22&690时的情况，其他情况类似）

根据http://s13/middle/7a1c18a8zx6CPEwdQwA0c&690，列特征方程为：

http://s12/middle/7a1c18a8zx6CPEwFJYTeb&690

解常微分方程得

http://s10/middle/7a1c18a8zx6CPEwzDIt09&690

http://s4/middle/7a1c18a8zx6CPEwLGg3d3&690

我们新坐标就是使用微分方程的解来做变换

http://s3/middle/7a1c18a8zx6CPEwFNE6f2&690

http://s16/middle/7a1c18a8zx6CPEwOTEPef&690

下面的任务，就是把偏微分方程从http://s13/middle/7a1c18a8zx6CPEwSgHOec&690的坐标系中，由于这些都是高等数学内容，就不再多说了。

为什么能够通过特征方程的方法化为标准形？

要解释这个就不容易了，各个观点见仁见智，我也说说自己想法罢了。

Richard Haberman的《实用偏微分方程》中，是这么引出特征线的：一阶偏微分方程中

http://s7/middle/7a1c18a8zx6CPEwMJ3Ue6&690

若观察者以速度c移动，即http://s4/middle/7a1c18a8zx6CPEwVP3583&690，那么

http://s1/middle/7a1c18a8zx6CPEwTiJq50&690

也就是以特定速度http://s7/middle/7a1c18a8zx6CPEwXTJsc6&690测不出变化。

对二阶偏微分方程来说，将算子进行分离，是十分有帮助的。以例题中的Tricomi方程为例：

http://s9/middle/7a1c18a8zx6CPEx9JNe28&690

可以看到，我们将二阶微分算子http://s2/middle/7a1c18a8zx6CPExdiUN71&690

而新坐标http://s3/middle/7a1c18a8zx6CPEx7CN412&690恰好是一阶算子转换成常微分方程解的形式！

肯定所有人都不会认为这只是巧合，那么新坐标和旧坐标的关系到底是怎样的？？

特征方程方法暗含的原理

下面只是我的猜测，由于个人水平有限，没能给出严格的证明。

我们还是以Tricomi方程为例，通过坐标转换可以将偏微分方程化为标准形，

http://s1/middle/7a1c18a8zx6CPExgzssc0&690

http://s6/middle/7a1c18a8zx6CPExaQL3b5&690

那么在这种坐标转换的作用下，偏微分算子又变成了什么形式？通过链式法则，我们得到

http://s12/middle/7a1c18a8zx6CPExdeMH6b&690

可见，两个一阶算子分别变成了对新坐标的一阶偏导。最关键的，新算子只包含一个变量的偏导。

这是巧合么？我不知道。

假设

这块内容属于个人理解，仅讨论双曲型。

http://s9/middle/7a1c18a8zx6CPExqhZu28&690是个常数），那么这样就意味着：

将http://s4/middle/7a1c18a8zx6CPExAAlt73&690又代表具体的什么呢？

我们令http://s6/middle/7a1c18a8zx6CPEy1SYd45&690有相同的形式，因为他们表示的是同一事物。

这样，我们得到：http://s1/middle/7a1c18a8zx6CPEycOVG40&690

若http://s15/middle/7a1c18a8zx6CPEycxMqbe&690，那么算子

http://s11/middle/7a1c18a8zx6CPEyxgQaba&690偏微分罢了。