【说明】

本流程图将数字1,2,…,N2（N≥2）接逆时针方向依次写在N×N的矩阵中。下面给出了N=4和N=5的情况：

【问题1】

填充流程图中的①至⑥，使之成为完整的流程图。

【问题2】

若将数字1,2,…,N2按顺时针方向依次写在N×N矩阵中，则只需将上述流程图中的  ⑦  改成  ⑧  即可。

http://s9/middle/798f21a0hb01c4a2a17f8&690

例题11分析

通过阅读流程图，可以知道程序开始先初始化变量M和K为1。然后进入一个大until循环中，该循环体由4个小until循环组成，其循环判断条件分别为①、②、③、④，可以定义为循环①、②、③、④。

在4个小循环的循环体中都有语句M→A[I,J]。M在每次循环中增1，所以可以确定A[I，J]描述的是N×N矩阵中某个位置，其中I为矩阵的行，J为矩阵的列；而M是向矩阵中填入的数字，即为给定的数字1,2,3,…,N2。

根据4个循环I、J变换的顺序知道：循环①中J值不变，I 值每循环一次加1，即列号不变，行号递增，从上往下将值写入矩阵中；循环②中I值不变，J值每循环一次加1，即行号不变，列号递增，从左往右将值写入矩阵中；循环③中J值不变，I值每循环一次减1，即列号不变，行号递减，从下往上将值写入矩阵中；循环④中J值不变，I值每循环一次减1，即行号不变，列号递减，从右往左写入矩阵中，其轨迹为一个逆时针正方形边框。

4个小循环结束以后，变量K值加1，则K控制大循环的次数，其循环次数为K=[N/2]，每次大循环开始都将I、J设置为K值。如果将A[I,J]看成数组，则每次大循环都是从数组的对角线上开始的。即第一次大循环K=1，从A[K,K]=A[1,1]开始，其轨迹的对角线的起点为A[K,K]，终点为A[N-K＋1,N-K＋1]；第二次大循环K=2，从A[K,K]=A[2,2]开始，其轨迹的对角线的起点为A[K,K]，终点为A[N-K＋1,N-K＋1]……

根据上面的分析，来分析确定4个小循环的判断条件（以第K次循环为例）。开始循环前I=J=K，其各个循环的I、J变换规则与界限如下：

循环①中J=K，I 值每循环一次加1，则I的下界为N-K＋1。

循环②中I=N-K＋1值不变，J值每循环一次加1，则J的上界为N-K＋1。

循环③中J=N-K＋1值不变，I值每循环一次减1，则I的下界为K。

循环④中I=K值不变，J值每循环一次减1，则J的下界为K。

由于程序流程采用until型循环，先进行M→A[I,J]数组赋值操作，再进行I或J的增加或减少操作。由于I、J不能操作所给定的界限，所以给出循环条件必须谨慎。

循环条件①判断条件为"≤"时，就进行循环。根据上面对循环①的分析，可以确定退出循环时I= N-K＋1，所以当为I≤N-K＋1-1时进入循环，即I≤N-K。同理，循环条件②为J≤N-K。

循环条件③判断条件为"≤"时，就进行循环。根据上面对循环③的分析，可以确定退出循环时I=K，所以当I≤K-1时进入循环。同理，循环条件④为J≤K-1。

当系统退出大循环时，如果N为偶数则N/2=[N/2]，则矩阵所有数据填写完毕；如果N为奇数，则N/2>[N/2]，则矩阵的中心还没有填写。矩阵中心的位置为A[[N/2]+1, [N/2]+1]，根据处理流程退出大循环后K=[N/2]＋1。所以退出大循环后还需要判断是否到中心，即N是否为偶数。用数学式描述是N mod 2=0。如果为奇数则要求M→A[K,K]，这也就是判断⑤和处理⑥的结果。

只要将矩阵的行列互换，就得到将字1，2，…，N2按顺时针方向写入的矩阵。在流程图中，I代表行，J代表列，将J与I互换即可达到行列互换的目的，所以只要将A[I,J]改成A[J,I]即可。

例题11参考答案

【问题1】

① I:N-K 或 I:N-J 或 M:4(K-1)(N-K+1)+N-2K+1

② J:N-K 或 J:N-1 或 M:4(K-1)(N-K+1)+2(N-2K+1)

③ I:K+1 或 I:N+2-J 或 4(K-1)(N-K+1)+3(N-2K+1):M

④ J:K+1 或 J:I+1 或 4K(N-K):M

⑤ MOD(N,2):0 或 [N/2]*2:N 或 [N/2]:[N+1/2] 或 N/2: [N/2] 或 [N/2]:[N/2] 或 N:2(K-1) 或 I+J=N 或 M-1:N2

⑥ M→A[K,K]

【问题2】

⑦ A[I,J] 或 M→A[I,J]

⑧ A[J,I] 或 M→A[J,I]