阿笨按：阿笨以前也了解一点相关研究，只是没有细细研究，现在应该注意了！呵呵，蛮有趣的，可以看看！

    1：富豪榜之幂律分布：少数个体的尺度相当大，多数个体的尺度则很小。少数决定多数！

扩大到世界范围：是自相似的！

Mandebort 最早提出了自然界不仅存在一维的直线，两维的平面、三维的立体，还存在维数是分数的所谓分数维。海岸线的维数界于1-2之间就是一个例子。分数维意味着两个量x，y之间存在着幂函数关系,即y=ax^b 。而这里的b可以不是正整数。把数学上早已知道的幂函数戴上了一顶半物理学的新帽子--分数维。

“自相似”是自然界普遍存在的现象。在一个系统中，整体和部分之间，这一部分和那一部分之间都具有相似性。对幂函数做一些分析会把自相似问题看得清楚一些。

如果把幂分布函数的两边取对数，再取微分，可以得到

     dlnf= C₂dlnx

   注意到对数的微分具有变量微分与原量的比值的含义, 即

    dlnx=dx/x  ,dlnf=df/f

    所以 [(df/f)/(dx/x)]= C₂

    注意到C₂是一个常数，我们看到分布函数的相对变化（即df/f）与变量的相对变化dx/x 成线性关系（不是与变量本身成线性关系！）。把它翻译为物理语言就是该系统有自相似性质。

自相似性则是分数维的重要性质。说得再通俗些就是某系统（广义集合）中标志变量的相对改变量（dx/x）与其对应的个体的相对数量的改变量（df/f）是正比例关系。

问题也可以反过来考虑：如果一个广义集合的标志变量的相对改变量与它们对应的数量的改变量成正比例，那么其分布函数应当是幂函数。这样我们就对于自相似与幂分布的内在关系加深了认识。

    上述分析源自新疆的张学文老先生，他在《组成轮》一书中有更详细的分析。因为我们在证券市场经常观察到“自相似型”，因此了解自相似与幂分布的内在关系是有益的。

    2：国内城市规模及GDP的幂律分布：

    以上图幅的数据来源于：汇通网经济数据栏目。

    3：幂律及幂律之外：黑天鹅，龙头

    幂律分布在自然和社会系统中如此普遍，以至于导致分形几何学的大热。而在系统论看来：幂律的出现意味着或被看做是自组织临界系统已经处于稳态的边缘，即从稳态过渡到非稳态的一个信号或一个标志。正如前面的富豪榜所显现的社会学信号：两级分化！即使作为草民也能强烈地感受到一种不安，并隐隐地预计到社会可能会出大问题。学者们利用幂律分布的信号，以理论的逻辑方式预测这类系统的“相位及相变”，金融物理学就是这么想的。

    但是，仅仅靠幂律分布是无法预测“相变”的，所以才有“黑天鹅”的说法。幂律分布像其他类型的概率分布模型一样，仅仅是求“共性”的模型。一般而言，分布函数不变的系统属于稳定系统。均匀分布就是平均值不变。股票市场中的移动平均线则假定股价系统相对稳定，变化很慢，或者说股价变动不剧烈（显然与实际股价走势不符）。正态分布系统的稳定条件则既要求平均值不变，也要求方差不变；正态分布可对应于社会学中的“橄榄球”型社会。幂律分布的系统的稳定条件则是要求几何平均值不变；对应于“金字塔”型社会或我国的“图钉”型社会。从信息的角度看，均匀分布所含的信息最为贫乏。

     索迪特教授提出了一个概念：“dragon-kings"，我把它译为“龙头”。龙头指异常值或离群值。意思是在幂律之外存在异常值，或者说与幂律并存。他曾举法国城市规模为例，说明巴黎是个“龙头”：见下图：图中红点远离直线，为异常值即龙头。显然，按照幂律分布模型，异常值被视为“错误”而被剔除掉。就是欧阳首承教授所说的非规则信息，其实是含有转折性信息。

     索迪特强调龙头可以代表“相变”“转折点”“溃变”等极端事件，如大地震，材料破裂，股市崩盘等。基于“龙头”这一概念，他提出了对数周期性幂律模型来预测“相变”事件。