智慧数学--陈士文

“智慧数学”课堂的内涵及特质

扬州市育才小学    陈士文

 

数学是一种智慧，数学中蕴藏着一种至简至和的智慧,一种至真至通的智慧,一种创造探索的智慧（此观点已在《“智慧数学”宣言》和《数学，造就智慧人生》两文中详述）。

2009年12月，扬州市成立了小学数学名师工作室，我作为名师工作室的领衔人，从数学本身及数学教育的角度提出“智慧数学”的理念——小学数学的教学应是一种智慧的生长。（此观点已在《为什么是“智慧数学”？》一文中详述）。

2010年8月，申报了全国教育科学规划中小学数学教育专项研究课题（教育部重点课题）《小学数学课程核心内容（智慧数学）及其教学的研究》，旨在通过课题研究提升“智慧数学”的理论价值。

既如是，“智慧数学”是小学数学课程核心内容的凝练表述和理论主张，“智慧数学”课堂是学生智慧生长的实践载体。

“智慧数学”不是一种教学法的名称，“智慧数学”课堂也不存在一种固定的模式。为了更清楚地阐释“智慧数学”课堂的内涵及特质，我们先从小学数学教学法的回望和比照开始。

一、小学数学教学法的发展

60年代初，发现法的教学思想传入我国，80年代尝试教学法在大江南北兴起，继而又有关于探究研讨法、自学辅导法的教学研究与实践。回顾小学数学教学法的历程，具有代表意义和深远影响的教学法主要有四种，即：发现教学法、尝试教学法、探究研讨法、自学辅导法。

发现法是由美国教育家、心理学家布鲁纳倡导的一种教学方法。发现法要求教师不直接把现成的知识传授给学生，而是引导学生根据教师和教科书提供的课题与材料，积极主动地思考，独立地发现相应问题和法则的一种教学方法。

发现教学法，学生是发现者，学生内在学习动机得以激发，有助于发挥学生的潜力，提高学生的智慧，学生“学”的一面凸现了。但是，教师的作用变得潜在和弱化，教学过程耗时较多，不适合低年级，尤其不适合并未实施小班化教学的中国。现实呼唤一种本土化、“教”与“学”兼有并重、操作易行的教学法，在这种背景下，常州市教育科学研究所邱学华开始设计并提出了尝试教学法。

尝试教学法不是先由教师讲，而是让学生在已有知识的基础上进行尝试练习，在尝试的过程中指导学生自学讨论，在学生尝试练习的基础上，教师再进行有针对性的讲解。

尝试教学法借鉴了中国古代“启发式教学”原理和发现法教学的思路，改教学过程中“先讲后练”为“先练后讲”，改变了满堂灌的做法，大面积提高了教学质量，有利于培养学生的探索精神和自学能力。

与此同时，美国教学法专家兰·本达提出的探究研讨法在80年代初介绍到我国，探讨研究法没有尝试教学法中固定的教学环节甚至每个环节的时间限制，在教学形式上有所“解放”，并开始更多地在教学的材料上下功夫。

探究研讨法是建立在现代教育和心理科学研究成果基础上的一种教学方法，它的基本思路是把教学分为“探究”和“研讨”两大环节，即在教师指导下，学生先通过对有结构材料的操作探究，再进行研讨，最终共同得出结论。

探究研讨法遵循学生的认识规律，通过学生主客观的相互作用，由学生自己掌握知识，教师重在探究指导和设计有结构的材料。

我们知道：教师、学生、教材是课堂教学的三要素，比照发现教学法、尝试教学法和探究研讨法的特征，发现教学法重心在学生，尝试教学法师生并重，探究研讨法既规避了发现法的过于“自由”，又减轻了尝试教学法中的模式“束缚”，最大的发展是开始关注教材，进行教学材料的结构改造。我们发现：发现教学法是“根据教师和教科书提供的课题与材料”，尝试教学法是“改教学过程中先讲后练为先练后讲”，只是改变顺序，两种教学法基本遵照教材，探究研讨法是“对有结构材料的操作探究”。而由中国科学院心理研究所卢仲衡教授主张的自学辅导法则更进了一步。

自学辅导法是在教师的指导下，以学生自学为主的教学方法，自学辅导法运用心理学的原理，采取适当步子、及时反馈的原则重新编写教材，实行三个本子综合运用，即课本、练习本、答案本。

自学辅导法以学生自学为主，包括自学、自练、自检，规定一节课用于学生自学的时间在30分钟左右。学生带着问题自学，调动了学习的主动性，使学生有更多的机会独立思考，有利于自学能力的培养。

由此可见，自学辅导法不单是一种教学方法，更是教学思想、教学内容、教学方法的综合，最为突出的是有一套新的教材，自学辅导法更能从整体上提升教学的质态。

尽管我们是“用教材教”，不是“教教材”，但教材的问题永远是教学的首要问题。我们的教学不能停留在技术层面，甚或教学法的选择、综合及优化，小学数学教学法的发展要数学本身的改造开始。

我们要首先思考：数学是什么？数学教材怎么样？小学数学课程的核心内容是什么？

智慧数学是对小学数学本质及其教育的高位诠释界定，从教材、教师、学生三位一体的高度规划设计小学数学教育，先改造教材，再优化教法，继而改变学法。基于此，我们提出“智慧数学”的课堂理念。

二、“智慧数学”课堂的内涵

“智慧数学”是一种理念，“智慧数学”课堂是一种实践形态，其内涵可概括为“六性”，即：整体性、多向性、探索性、简洁性、抽象性、和谐性。

整体性——世界是一个有联系的整体，我们的教材设计要从整体出发，在知识的来龙去脉中培养学生整体的眼光、整体的思维，感悟智慧的生长。切忌“斩头去尾烧中段”，把对世界的整体认识切割成一道道琐碎的提问，而缺少宏观的思考。

多向性——数学教学中应进行思维的发散、创造，“数学的本质是自由的”（康托语），学生在自由的氛围中打开思维的天窗。切忌单线的教学的设计阻碍封闭学生的思维，不是自古华山一条道，而是条条大路通罗马。

探索性——数学教学活动是一种探索活动，通过观察、实验、想象、直觉、猜测、检验等活动，经历智慧的生长过程。“我们的数学文化是停留在好胜的阶层呢？还是好奇的阶层呢？在好奇心的驱动下，我们才能取得数学的创新和突破”（张奠宙语），教学中要保护好奇，多向探索。切忌教师全面的直接的牵引、给予、灌输。

简洁性——简洁是数学美的首要标志，数学教学应注重基础，提炼出最基本、最本质、最简约的内容。数学不是繁琐，不是一味追求繁难高深，我们不是训练学生记忆累积的能力，而应是化归求简的能力，掌握最基础的，才能把握更深奥的。

抽象性——抽象能反映事物的本质属性，数学的抽象是有层次的和永无止境的。抽象提升思维的品质和境界，数学不是停留在“生活剧”中，数学追求深度思考的价值，不是停留在简单的实用上。

和谐性——数学科学是一个统一的整体，和谐是数学美的终极境界。让学生感悟数学不是孤立对抗的，也不是零散杂乱的，数学是一个和谐的整体，只是我们认识能力的局限和表述的需要，才把数学分割成数、形等一个个部分。我们的数学教育是让学生感受到数学之和谐，而不是怪异。

对于“智慧数学”课堂内涵中包括的整体性、多向性、探索性、简洁性、抽象性、和谐性，我们可以用一副联语来表述，即：“一寰宇纵横分经纬，四面八方寻，数几何？两数字正负显乾坤，六色五颜去，形归一。”（“智慧数学”联语）

上联的意思是：数学眼光看到的是一个整体的世界，为了认识这个世界，我们把这个世界进行数学的纵横分类，再发散我们多向的思维，去探索寻求用几个数来描述这个世界呢？

上联开张发问，下联收合作答：我们用“0”和“1”、“正”和“负”去简洁揭示朗朗乾坤消长兴衰的规律，在这个过程中不断地进行数学的抽象，发现世界最终的和谐统一。

上联由“形”寻“数”，下联以“数”表“形”，“数”中有“形”，“形”中有“数”， “数”“形”和谐统一。上联从“一”起始，下联以“一”结句。后“一”非前“一”，从前“一”到后“一”是智慧的生长，是人类认识的飞跃。联语是对“智慧数学”课堂言简意丰的表述。

“智慧数学”课堂实对数学进行改造、甚至再造，凸显数学的本质——智慧，智慧的生长是基于一个整体的认识，并通过多向的探索、数学的抽象，最终简洁而和谐的描述我们的世界。

显然，“智慧数学”摒弃教学中把教材异化成考题的状态，要对数学教材进行改造、再造，使教材的编排设计呈现“智慧数学”整体性、多向性、探索性、简洁性、抽象性、和谐性的内涵。在此基础上，我们思索“智慧数学”课堂的结构特质。

三、“智慧数学”课堂的特质

智慧无形，因而“智慧数学”课堂是没有固定模式的，没有僵化教条的环节或步骤，但也不是不可捉摸，没有丝毫要素要点，“智慧数学”课堂有有可操作的结构特质。

一是基于整体性、简洁性，“智慧数学”课堂的特质之一是呈板块结构。

“科学是内在的统一体，它被分解为单位的部门不是由于事物的本质，而是由于人类认识能力的局限。实际上存在着从物理学到化学、人类学到社会学的连续链条。”（德国·普朗克）

我们视数学为有机的整体，数学内在的统一尤为显著，即便是四则意义的教学，我们应认识到“加”与“减”互逆、“乘”是“加”的简便运算、除即是一种“连减”、而“乘”和“除”又是互逆的，四则内在是统一的。我们的教学设计只有从整体出发，通过“板块”来实施教学，设计概念的引入、概念的建立、概念的深化、概念的应用与拓展等教学板块，才能体现数学内在的整体性。如果教学设计细碎成一串串问题、一道道练习，就不能建立相应的知识结构，不能引领学生整体感悟数学思维。“板块”式设计是数学学科整体性的必然选择，也是数学简洁性的应然要求。

二是基于多向性、探索性，“智慧数学”课堂的特质之二是有独立活动。

我们知道：音乐教学中有“合唱”，体育活动中讲“合作”，劳技实践中需“动手”，语文教学中倡导“书声朗朗”，而数学课堂上更多的是“静思默想”。这种“静思默想”是一种独立思考的状态，数学学科的理性特点需要我们的教学注重学生思维品质的培养，思维倡导的是“独立”，在“独立”的前提下，才有思维的交流与碰撞，才有合作的基础及质量。思维是一种深度活动，不是群体的情绪感染、环境的氛围熏陶、他人的动作暗示所能达到的，这种深度活动通过学生独立练习、独立操作等思维活动来完成。有过各自独立的探索，方可出现多向的交流碰撞。有了独立，才能遏制教师一讲到底的现象。

三是基于抽象性、和谐性，“智慧数学”课堂的特质之三是留问题思索。

数学问题是数学发展的主要源泉，问题是数学的核心。数学课堂教学中，一方面引导学生逐步抽象，进入思维纵深，另一方面要纵横联系，发现数学间的和谐。教学中少一点技能性的问题和考题操练，数学课不是停留于一道道题目的圆满答案，更高境界是多一点猜想、质疑，多一点从整体上设计数学问题，多一点具有开创意义、发展意义的大问题。

四是基于智慧的生长，“智慧数学”课堂的特质常常有“智慧心语”。

“智慧心语”是穿插于课堂教学之中的总结、发问、猜想、深思之语，“智慧心语”是教师基于学生智慧自然生长状态下，教师遵循智慧生长的规律，予以点拨、追问、设疑。这种点拨、追问、设疑不是囿于一道题目之中，而是从思维规律、进而是哲学的高度启迪学生的智慧。

总之，“智慧数学”课堂是建立在改造数学的基础之上，借鉴发现法和尝试法的因子，化用探究研讨法和自学辅导法的原理，形成独立的多向探索活动。“智慧数学”课堂重新定位小学数学课程内容的核心为智慧，以板块的结构、独立的活动、问题的思索、智慧的心语为特征的课堂实践形态，是教育思想、教学内容、教学方法高度综合的教育形态。

关于“数学是什么？”的文摘及思考

“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”（英国数学家罗素语）

那么数学是什么呢？

高斯说：“数学是科学的皇后。”

伽利略说：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。”

爱因斯坦说：“这个世界可以由音乐组成，也可以由数学公式组成。”

数学身份尊贵，地位显赫，无之不可。“科学皇后”“宇宙文字”“世界组成”都是诗化的语言和比喻的描述，从学术的角度上，并未回答“数学是什么”。

让我们打开浙江师范大学张维忠教授的专著《数学文化与数学课程》（上海教育出版社）：

数学对象终究不是物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，它是一种认为约定的规则系统。为了描绘世界，数学家们总是在发明新的描述形式，除了在科学技术方面的应用外，同样还具有精神领域的功效（比如通常人们所说的数学观念，如推理意识、化归意识、整体意识、抽象意识、数学审美意识等）。因此从以上两方面的意义上来说，数学就是一种文化。

张维忠教授认为数学是一种文化，《数学文化与数学课程》一书的第四章《数学的文化价值》从六个方面加以阐述，即：

数学——打开科学大门的钥匙；数学——科学的语言；数学——思维的工具；数学——一种思想方法；数学——理性的艺术；数学——充满理性精神。

无独有偶，东南大学博士生导师王元明教授的观点与之是英雄所见略同，其所著的《数学是什么》（东南大学出版社）分四个要点意在回答“数学是什么”。

1、数学是一种语言，是一切科学的共同语言。

2、数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙。

3、数学是一种工具，一种思维的工具。

4、数学是一门艺术，一门创造性艺术。

综合两位教授的观点，“钥匙”“语言”“工具”“艺术”等名词依然是譬喻，数学的本质是什么呢？甘肃政法学院计算机学院王汝发教授撰写了《关于“数学是什么”的哲学反思》一文，文中把对“数学是什么”的回答归为两类，摘要如下：

隐喻性回答：

1、数学是打开科学大门的钥匙。因为“数学是一门科学”这是我们大家公认的，而自己是打开自己大门的钥匙！这似乎有点解释不通，这对于“数学是什么”的问题来说又似乎什么都没说——试问哪一门学科不是打开科学大门的钥匙。

2、数学是科学的语言。数学和语言在许多方面是不同的，如孙宏安所说：“不仅外延有较大的不同，而且种属关系也不一致。”因此这种比喻不但没有解决数学问题的性质，甚至本身也有不能自圆其说之嫌。

3、数学是思维的工具。认为数学是思维的科学，将二者联系起来一个是工具而另一个是科学，这就有点逻辑问题，因为科学与工具相差还是很大的。

4、数学是理性的艺术。数学与艺术有着很多的本质不同，因为数学讲究的是论证简洁、推理严谨、文体优美、思路清晰、形式对称等，而艺术则是一种创作，要求特立独行、张扬个性，不允许有雷同。

5、数学是一种理性精神。说数学是一种理性的精神，仍需重新面对“数学是什么”的问题。

实质性回答：

1、形式倾向性说法。数学是一门演绎科学。推动数学发展的主要动力是归纳而不是演绎，这种说法侧重于数学的演绎性而忽略了数学的经验性特点，并不能反映数学的全貌。

2、综合性说法。数学是一门演算的科学。直接将“演”“算”——演绎证明作为“数学是什么”来回答等于又回到原来的问题；其次是计算机技术已从数学学科中分离出来，已经成了一门独立的学科，因此这种定义仍不能令人满意。

3、对象性说法。数学是研究数与形的科学。这种定义在过去数学发展的一定时期内是极其精辟和完美无缺的，而数学的发展使其原来的定义已无法适应新形势下数学发展的需要。

反思总归是反思，好像并未立论，就此为止，我们仍未得到“数学是什么”的本质回答，究竟数学是不是一门演算的科学？

中国社会科学院哲学所教授林夏水撰文《论数学的本质》，认为：

“演算”概括了数学研究的特点，反映了数学的经验性与演绎性及其辩证关系，我们有理由把它作为对数学本（性）质的概括，说“数学是一门演算的科学”。

随即陕西师范大学数学与信息科学学院教授黄秦安提出反对意见，黄泰安教授在《我们应该如何认识数学的本质——对林夏水先生“论数学的本质”一文的商榷》一文中写到：

从逻辑的角度看，“数学是一门演算的科学”的结论既有定义过宽的缺点，又有定义过窄的缺陷。如果数学可以归结为“演与算”，那计算机就是水平最高的数学家了。

文摘摘到现在，我们并没有从学术的角度，把数学与哲学、数学与科学、数学与艺术作比较研究，当我们读到中国科学院数学研究所教授胡作玄的专著——《数学是什么》（北京大学出版社）时，我们有了新的认识。胡作玄教授着力分辨出数学本质的不同之处：

数学与哲学的区别：

1、哲学较大程度上是主观知识；而数学则是客观知识。

2、哲学围绕少数伟大的哲学家的论题发展；数学则是积累的、不断进步的、逐步系统化的知识领域。

3、哲学和数学各有其关联的范围：哲学的关联的范围广，但强度弱；数学关联度强，它把许多领域转化为科学。

数学与科学的区别：

1、自然科学以现实世界的事物及对象为对象；数学则以抽象模型、抽象形式、抽象关系为对象，这样的对象可以来自自然界，也可来自社会，其后来自原有概念的演化及加工。

2、自然科学的目标是寻求对客观事实的解释，建立理论并提出可证实或证伪的预言，这些往往称为定律或规律；数学的目标则是寻求概念之间的逻辑关系，其结果形成定理或算法。

3、自然科学的确证必须靠观察和实验的经验证明，当然它也依赖于理论的结果与已知确证的理论不相矛盾。自然科学是站在理论和实验两条腿的基础上；数学只有一条腿，即逻辑的无矛盾性。

4、自然科学的“真理”有其近似性和相对性；而数学的真理则是绝对的和不朽的。

5、自然科学工作的本质是发现；数学工作的本质是发明。

数学与艺术的区别：

1、数学求真，艺术求美。真对数学来说是第一性的，而美是第二性的。

2、数学具有积累性、进步性、历史性，数学同一领域的结果有可比性；艺术则缺乏可比性，既没有横向的可比性也没有历史的可比性。

3、数学强调一般性、统一性，数学的理解有程序性，也就是需要按部就班的学习与掌握，大部分数学缺少直观性常常构成理解上的困难；而艺术强调个性、特殊性，但并不因此更难理解，因为艺术作品带有直观性和直感性。艺术理解的困难在于对情境的陌生。

从比较的视角，中国的教授胡作玄著《数学是什么》，而美国两位数学教授柯朗、罗宾合著《什么是数学》（复旦大学出版社），美国数学教授斯图尔特在修订《什么是数学》一书的序言中申明：

《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想：“数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。”

柯朗、罗宾认为：

数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。

唯一能回答“什么是数学”这个问题的，不是哲学，而是数学本身中活生生的经验。

同样，我们可以读到浙江大学教授蔡天新在《数学与人类文明》（浙江大学出版社）一书中的观点：

数学与科学、人文的各个分支一样，都是人类进化和智力发展进程的反映。它们在特定的历史时期必然呈现出某种相通的特性，甚至相互影响。在按时间顺序讲述不同地域文明的同时，我们先后探讨了数学与各式各样的文明之间的关系。例如，埃及和巴比伦的数学源于人们生存的需要，希腊数学与哲学密切相关，中国数学的活力来自历法改革，印度数学的源泉始于宗教，而波斯数学和天文学互不分离。进入20世纪以后，抽象化成为数学和人文的共性。

数学不仅来源于人们生存的需要，最终也还是要返回到这个世界中去的。

逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性、抽象化……这是数学的本质吗？还有“数学是关于数和形的科学”“数学是关于模式和结构的科学”等等，不同时代不同论述，难道我们莫衷一是吗？还是历史辩证的分析呢？且看下面的观点：

关于数学本质的问题是一个具有时代性、前瞻性、发展性、综合性的数学哲学核心问题。在数学的任何发展阶段都不可能有固定的、永恒不变的答案，这应该成为数学哲学研究的一条认识论原则。单纯片面地从某个角度去看数学的本质都会是有失偏颇的。

——摘自陕西师范大学教授黄秦安《我们应该如何认识数学的本质》

对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉。

对数学本质的认识，是数学认识的一个根本性问题，也是数学教育论的一个根本性问题。

人们对数学的不同感受可以得出对数学本质完全不同的认识，从不同的角度观察数学也可以得出对数学本质的不同理解。所以，对数学本质下一个统一的定义，既不大可能，也没有必要。并且，我们最好不要花太多的精力去思考哪一个关于数学本质的定义更合乎自己的认识，因为这是无关紧要的。对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉。

——摘自湖南大学衡阳分校副教授黄光荣《对数学本质的认识》

不想再摘了，摘多了，可能会中了法国数学家安德烈·韦伊的话——“数学的特别之处，就是它不能为非数学家所理解”。

我们要思考！我们不是数学家，我们是数学教育工作者，我们是小学数学教育工作者。那么小学数学是什么？小学数学教育是什么？

我们摘录了许多数学家的观点，现在来听听教育家的声音。美国数学教育家克莱因说：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”

这一切的核心是什么呢？从何处起步呢？

中国科学院院士张景中提出了从“数学教育”到“教育数学”的观点。张景中、曹培生教授合著《从数学教育到教育数学》（中国少年儿童出版社）一书的前言及后记中这样写道：

为了教育的需要，对数学研究成果进行再造式的整理，提供适于教学法加工的材料，往往需要数学上的创新。这属于教育数学的任务。

所谓教育数学，就是为了教育而做数学。它和数学教育有关系，但又不相同。数学教育着眼于教学法和如何对数学材料进行教学法的加工，是为了数学而做教育，并不承担数学上的创造工作，也就是并不做数学；教育数学则实实在在是要做数学的。

英国数学家阿蒂亚说：“数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界。如果我们积累起来的生活经验要一代代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一。”

波兰数学家马克·卡茨说：“推广与抽象是数学的最重要的工作。正是由于推广与抽象，数学才能具有如此不可思议的有效性。”

简化和统一、推广和抽象……就是为了教育而做数学——教育数学。

文章写到此，我们应该明白了，我们不是从数学家的角度为数学定义,而是为小学数学,为小学数学教育,为了小学生享受数学教育。

我们所作的教育数学，就是“智慧数学”。“数学是一种智慧，数学造就智慧人生。”这是谁说的？陈士文，我。

我在继续思考，数学是什么？小学数学是什么？小学数学教育是什么？

我提出了“智慧数学”的教育观点，数学是一种创造，从结绳记事，到石头算筹，算盘电脑……从欧几里德，到欧拉，到牛顿……归纳演绎，抽象推广，三次危机，建立新论，数学是人类智慧的生长和超越。

“对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉”（黄光荣语），我的心灵感悟是——“智慧数学”，小学数学教育，为什么不是“智慧数学”呢？

“智慧数学”宣言

数学是一种智慧。

数学是美的，其中蕴藏一种至简至和的智慧。

数学不是符号、图形的重复呈现，也不是定理、公式的复杂关联。透过符号和图形、定理和公式我们发现数学之美：简洁、和谐。

我们的数学教育，是让学生感受到数学之简洁，而不是繁琐；感受到数学之和谐，而不是怪异。我们的数学教育要使学生感受数学之妙而从中体验审美，并建立数学的和谐观、数学的结构观。

数学是理性的，其中蕴藏一种至真至通的智慧。

数学的理性首先是一种“真”。在数学教育教学中，我们不能把数学的理性智慧简单地理解成数学是机械的思维训练，更不是单一的解题训练，也不能使数学陷于琐细浅层的生活实用。

数学的理性还具备“通”。我们的数学教育应感悟数学思想而从中学会思考，沐浴数学的理性之光，开拓数学的应用领域。否则学生将不会用数学的眼光观察生活、理解生活、创造生活，那我们所进行的如同是教动物小熊做计算题的杂耍表演，而不是数学教育。

数学是自由的，其中蕴藏一种创造探索的智慧。

数学的创造性智慧，源于它是一种创造性的活动，这种创造性不是推翻已有的大厦重建，而是在原有的基础上添砖加瓦，即便是另立高楼，那也会在新楼与旧楼之间构造回廊。新楼、旧楼成为一体，数学大厦的根基更加牢固。

数学的发展史更是一种探索史。数学发展过程中不断出现矛盾，尤有探索才能解决数学中的根本矛盾。数学史上曾发生过三次数学危机，每一次危机的发生都是数学智慧的生长，每一次危机的解决都是数学智慧的超越。

“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。”（克莱因语）正是数学给了人类美的智慧、真的智慧、创造探索自由的智慧。

数学学习追求一种智慧。

“智慧数学”的课堂旨在追求“一寰宇、纵横分经纬，四面八方寻，数几何？两数字、正负显乾坤，六色五颜去，形归一”（智慧数学联语）的境界。

【一寰宇】数学的教学设计要从整体出发，神龙见首又见尾，学生的数学智慧主要在课堂中“生长”，而不是教师直接的斩头去尾式的“给予”。

【纵横分经纬】数学的教学设计要从整体中走出，对浑然的世界用数学的智慧分解、分类、分化。

【四面八方寻】数学教学的思维活动要多向发散，不是一条道走到黑，而是寻找通向罗马的条条大道。

【数几何】数学致力探求宇宙的解，大千世界，气象万千，我们试图用几个“数”来描述。

【两数字】数字“0”和“1”，是这个世界数学化的基本符号。

【正负显乾坤】万物的消长生息，我们用数学来探索朗朗乾坤的运行规律。

【六色五颜去】数学不研究“色彩”，不停留于知识累积，而致力于数学的抽象、生活智慧的提升。

【形归一】九九归一，我们追寻数学世界的简洁、和谐、统一。

数学是科学之母，现代人更需要数学式思维，更需要数学的智慧。人们通过数学领悟世界的真谛，数学的对象和问题是不可穷尽的，数学之树是常青的，数学的智慧是生长不息的，我们的数学教育对数学智慧的感悟也将是不止的