7道经典例题教你如何利用均值不等式求最值

 均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。

  1. 凑系数

       例1  当 时，求 的最大值。

利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故需将“x”项凑上一个系数即可。

解：由 ，知 ，当且仅当 时取等号。其最大值是8。

点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

  2. 凑项

       例2  求 的最值。

       分析：由题意知 ，首先要调整符号，而 不是定值，需对 进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。

       解：∵ ，

       ∴ ，即 。

        ，当且仅当 ，即 时等号成立。

       ∴函数 有最大值 。

  3. 分离

       例3  经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量 （千辆/小时）与 汽车的平均速度 （千米/小时）之间的函数关系式为 。

       在该时段内，当汽车的平均速率 为多大时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）

       分析：只要把分子上的变量分离出来，转化到分母上就可以用均值不等式求解。

       解：依题意得：

        。

       当且仅当 ，即 时，上式等号成立。

       ∴当 时， （千辆/小时）。

  4. 平方

       例4  求函数 的最大值。

       分析：注意到 与 的和为定值，只要对解析式两边取平方，即可用均值不等式求解。

       解： 。

当且仅当 ，即 时取等号。

又 ，可知 ，故 。

  5. 统一

       例5  已知正数 ， 满足 ，求 的最大值。

       分析：把所求式的变量x都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。

       解：∵ ，

       ∴ 。

       ∴ 。

       当且仅当 且 时等号成立，又因 ， 为正值，可解得 ， 时等号成立。故 有最大值为 。

  6. 代换

       例6  已知正数 、 满足 ，求 的最小值。

       分析：将 看作 ，1用已知条件整体代换，可用均值不等式求解。

       解： 。

       由题意知，当且仅当 且 时等号成立，又因 、 为正数，解得 ， ，故 最小值是18。

  7. 构造

       例7  已知 ，求 的最小值。

       分析：注意到所求式子的分母满足 ，将其整体代入所求式子，即可用均值不等式求解。

       解：∵ ，

       ∴ 。

       ∵ ，

       ∴

       当且仅当 ，即 时等号成立。

       故 的最小值为25。

这7道例题包含了均值不等式所有类型，如果同学们能熟练掌握，均值不等式问题将不再是难题。

沈阳新东方咨询电话：400—024—0009