函数的对称性总结

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

　　一、 函数自身的对称性探究

　　定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b。

（“若f (x) + f (2a－x) = 2b，则函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称”命题正确，且“若数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称，则f (x) + f (2a－x) = 2b成立”逆命题也正确，则称“函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b”。）

　　证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

　　即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

　　（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

　　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

　　故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

　　推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 。

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点直线x = a的对称点P'（2a－x，y）也在y = f (x)图像上，∴ y = f (2a－x),故f (x)= f (2a－x)，必要性得证。

　　（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

　　∵ f (x) = f (2a－x)∴f (x0) = f (2a－x0) ，即y0 = f (2a－x0) 。

故点P'（2a－x0，y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于直线x = a对称，充分性得征.

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

　　定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

　　②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

　　③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

②的证明留给读者，以下给出①③的证明：

①的证明：∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

∵函数y = f (x)图像既关于点A b ,c) 成中心对称，

　　∴f (x) + f (2b－x) =2c，∴f (2b－x) =2c-f(x)………………（**）代入（*）得

2c-f(x) + f [2a－(2b－x) ] =2c，∴f(x) = f [2a－(2b－x) ]= f [2（a－b）+x) ]

则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③的证明：∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

　　又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

　　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

　　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

　　f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

　　f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

　　二、 不同函数对称性的探究

　　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

　　设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于点A (a ,b)成中心对称点为P'（x1， y1），则x1 +x0=2 a , y1+y0 = 2b ，∴x0 =2 a -x1 , y0= 2b-y1 代入y0 = f (x0)之中得2b-y1 = f (2 a -x1) ∴y1 =2b- f (2 a -x1) ∴点P'（x1， y1）在函数y = 2b－f (2a－x)的图像上。

　　同理可证：函数y = 2b－f (2a－x)的图像上任一点关于点A (a ,b)成中心对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理4成立。

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

　　③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

　　②证明留给读者，现证定理5中的①③

①的证明：设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x = a的轴对称点为P'（x1， y1），则x1 + x0= 2a , y1 = y0 ，∴x0 =2a-x1 , y0= y1 代入y0 = f (x0)之中得y1 = f (2a -x1) ∴点P'（x1， y1）在函数y = f (2a－x)的图像上。

　　同理可证：函数y = f (2a－x)的图像上任一点关于直线x = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的①成立。

③的证明：设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P'（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P'（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

　　同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

　　推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

　　三、 三角函数图像的对称性列表

函  数	对称中心坐标	对称轴方程
y = sin x	( kπ, 0 )	x = kπ+π/2
y = cos x	( kπ+π/2 ,0 )	x = kπ
y = tan x	(kπ/2 ,0 )	无

　　注：①上表中k∈Z

　　②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。

　　四、 函数对称性应用举例

　　例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（   ） （第十二届希望杯高二 第二试题）

　　(A)是偶函数，也是周期函数  (B)是偶函数，但不是周期函数

　　(C)是奇函数，也是周期函数  (D)是奇函数，但不是周期函数

　　解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

　　∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

　　故选(A)

　　例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

　　（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。

　　解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，

　　∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

　　故f(4) = 2001,应选（C）

　　例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

　　f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________   （第八届希望杯高二 第一试题）

　　解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

　　又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

　　例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

　　f (x) = x，则f (7.5 ) = （  ）

　　(A)  0.5  (B) －0.5  (C) 1.5   (D) －1.5

　　解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

　　又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

　　∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B