张丹简介：

    张丹，教师教育数理学院学术委员会主任，北京教育学院数学系教授，教师教育数理学院院

长。她是国家义务教育数学课程标准和高中数学课程标准的核心组成员，也是课程标准修订核心组成员，是新世纪小学数学教材副主编。自己独立编著或与他人合作著有《小学数学教学策略》、《新课程数学教学研究与资源丛书“统计与概率”》、《数学课程设计》、《新课程理念与初中数学课程改革》等七部，及各种论文三十余篇

主持人：点点；

主要发言人：张丹

交流主题：读懂学生基础上的计算教学

【主持人】：读懂学生应该从那几个方面入手？

【张丹老师】：计算教学是非常好的的一个话题，也是新世纪小学数学这几年一直在研究的课题，这里有三个读懂：一个是读懂教材，二是读懂学生，三是读懂课堂；读懂学生就是必然要了解、研究学生，在研究学生的基础上对计算教学进行研讨，这个主题是非常好的。不仅仅在理念上或者感觉去讨论一些问题，而是针对具体去研究学生。刚才主持人提了一个问题，研究学生的什么问题和怎么去研究？这是一个非常好的问题也是一个难以回答的问题。如果要全面的回答出来的话，可能要花很长的时间，所以我就概要的说一说。读懂学生主要是要读懂这么几个方面：

第一方面就是要读懂学生的知识基础。这个对于我们老师并不是什么新鲜的内容，要了解学生他在知识方面有些什么样的基础，对过去学生学的知识以前掌握的如何？这个就不详细说了；我想特别说的就是后面的两点，也是新课程以来大家特别关注的。

第二方面就是要读懂学生的经验。经验这个问题是大家特别关注的问题，老师们知道在课程标准的修订中，已经把双基变成了四基，就是已经把我们的基础知识、基本技能变成了基础知识、基本技能、基本经验和基本思想。已经把经验和知识、技能、思想相并列，作为一个核心词。作为我们老师，也应该非常关注学生的经验，我想经验又包括了两个方面，一方面是他的生活经验，一方面是他的学习经验，生活经验大家好理解，特别是学习经验，非常的重要。也就是我们老师在了解我们的学生，在没有学习知识，在没有学习计算之前，他已经有了什么样的经验。这里我举个例子：临时想起，不一定贴切。这个例子是我儿子的例子。他今年五岁，是个特别有意思的孩子。在他曾经很小的时候，就会很快地数数，他在1岁左右就能把100以内的数了，到三、四岁的时候，我就问他一些减法的问题，这个孩子实际上在数学方面是有天分的。但是5-3呢，他一直等于1，后来我就问他，问什么5-3等于1呢？他还是用数数的方法，他很简单，3、4、5，3和5之间就差一个4，所以结果就是1。了解了他这个以后我才知道，这个孩子缺乏一个什么经验，他真正具有的是数数的这个经验，他缺乏的是要减5减3，一种一一对应的经验，如果用5-3，用5个跟3个一一对应，很显的，5-3的结果是2。所以，我们老师既要了解他这个经验，要奠定他这个经验。这可能跟我比较注重在他小时候教他数数有关，但缺少了让他摆呀，对齐、一一对应的思想重视的不够。通过这个例子，我们要了解学生的生活经验以及他的学习经验是什么。

第三方面，非常重要的是了解学生的学习困难。特别是对于计算教学，教师的最大困惑是面对学生的错误或者困难。那么我们就要了解学生困难的地方到底在哪里？困难的原因是什么？然后我们才能有针对性的教学，这里我想应用吴正宪老师说过的一句话，吴老师在聊天的时候说，实际上我们老师不仅仅要了解学生哪疼，而且还要了解哪根神经的哪根末梢在疼，这个比方非常形象。不仅仅我们要知道学生在算小数乘小数的时候有什么困难，错误，而且我还要知道是在哪个问题上的错误，还要知道他错误的原因是什么，我才可能帮助他学习。吴老师给我们提供了一个经验，她曾经为每个学生做了一个大表，她关注学生能关注到什么程度呢？他能够知道一个学生比如说小明在算哪个乘法口诀中哪个口诀他出错。她非常细心，给学生做了一个大表，横排是每个学生的名字，纵列是重要的知识点，这样他就不仅知道那个孩子出错，而且还知道在哪个地方出错，她的一个非常常用的方法是对于错误的孩子错误的地方就时不时地帮助学生去巩固，并不是让学生做很多的题，而是很自然的。比如说：七八五十六，这个孩子总是出错，他在后面学两位数乘一位数，三位数乘一位数时，也会遇到七八五十六这样的问题，她就会专门找这个孩子多背背这个口诀。时间长了，孩子自然就会了。但要做到这一点，就必须要了解到学生的学习困难。

还有一个就是我最近比较关注的，就是关注、了解学生的学习兴趣。到底选择一个什么样的情景能真正激发学生的学习兴趣？这是我们需要思考的问题，比如对于计算教学，我们需要设计大量的练习，这是必要的，但是什么样的练习能够真正激发学生的兴趣，这个问题是我们必需要思考的。

简单说起来，就是我们要了解学生的知识基础、经验基础、学习困难和他的一些学习兴趣，我觉得老师们要特别关注第二、三点，就是他的经验基础和学习困难。

第二，老师可能有疑问：“那怎么去了解学生呢？”现在我们强调的就是方法，常用的是四种方法。

第一种方法是了解学生，做课堂观察。也就是我们老师课堂中不仅仅是教学者和引导学生学习者，还是一个细心的观察者。如果我们在课堂上能够捕捉孩子常见的问题或者孩子常见的思路，并且及时记录下来，对于了解学生是很自然的。所以我们老师上课要上得从容一点，现在一些老师上课上得比较茫然，设计了很多活动，这样他就没有时间去观察学生，不如砍掉一、二个活动，把时间真的仔仔细细得去观察、了解学生，是一个很好的方式，同时也是一个比较可行的方式，不用再额外的做很多事情。

第二个就是我们经常说的作业分析。作业分析实质上是老师们了解学生一个最重要的途径。一个有心的老师他会根据学生的作业来记录一些作业孩子常见的思考，以及一些常见的问题。

除此之外，还有一些专门的方法，比如学生调研，访谈法，与问卷调查法，访谈法就是找些学生去聊一聊，问卷调查法你可以设计一些问卷，了解全班的一种情况。有很多老师说，我们没有很多这样的时间去做调查，但是你要有一个这样的调查意识。有了这个意识之后，你就可以及时地捕捉信息，倒是不见得每节课你都要正式地做这个调查。比如说，每节课都发一些作业纸或小的题目，我听过很多的课，几乎没有一个老师在课下把学生作业纸收起来。什么意思呢？做完了，这些纸都要让孩子带走，很多孩子没有保留这方面的经验，没有这个想法，可能这张纸就浪费了。如果老师很自然把它收起来，时不时来翻一翻，就会了解哪个学生在哪个方面仍然错误的，就会大致了解这个学生的情况。

【主持人】：谢谢张老师，刚张老师对于什么是读懂学生，怎样读懂学生，给予简要的介绍，说得虽然是简要对我们来说却是很有用的。就是体现了从以教为本，到以学为本，体现了本质上的一个变化，教学内容可以一样，教学方法不同，教学方法不同的起点在哪里呢？是在于学生。学生读懂了，你的教法，你课堂才会是更有效的。今天所提出来的相关教学问题是在读懂学生基础上的一些问题与困惑，请各位老师围绕这个主题来进行探讨。

我们在读懂学生这方面，我们已经有了初步的了解，但对于计算教学，课程改革之后都有了很大的变化。以前我们所说的双基教学非常扎实，然后又将双基又改成了四基，教师对于计算教学核心任务的把握是犹豫不定的，不知该如何处理，你能不能给大家谈一下关于计算教学的任务，以及第一和第二学段相关计算教学的核心或是标准都怎么把握？

【张丹老师】：计算教学的核心任务是什么？这是一个非常大的一个问题。首先，需要对它有个界定，我的理解先不包括解决应用问题，先把它定位在这儿。如果再包括解决问题的话，那范围就更大了。关于纯，我们单纯不包括解决问题的计算。还得分清有不同，一个是估算，估算是新增的内容。还有一个是我们常说的精确计算，包括口算、笔算，使用计算器等等。

首先，是精确计算。是关于口算、笔算和计算器的这些问题。对于这些问题，就是我们原来所熟悉的计算技能这部分要求。第一个就是理解算法，理解算理，算法的自动化，挖掘计算教学其它方面的价值。

下面分别阐述一下。在计算教学当中，主要解决的就是这几个问题：

第一个，是理解算理。学生不仅要会算，还要知道我这样算的一些道理。对于这个来说，最核心的就是要用多种方法帮学生来理解我为什么这样做。为什么要强调多种方法呢？因为学生的思维方式是多样的，有的孩子适合形的思维，有点孩子适合数的思维，有点孩子适合动作的，有的适合结合生活情景，老师最大的责任是给每个孩子一个学习的机会，教材和老师们做得比较好，利用生活的一些东西，比如说元、角、分来体会算理，比如些利用一些几何上的模型，包括我们教材中的小方片、小长条、小棒等等，采用多种方式，来帮助学生理解算理。还有老师采用数的分解来帮助理解算理等等。这部分非常重要的，老师们不要以为这个时间我可以省去，去做其它的事情。古语有句“磨刀不误砍柴功”，这是需要非常重视的一件事情。具体来说，到底每一个运算它的算理什么？这是一个非常好的研究话题。举个例子，比如，我们平常习惯于说：“我们交给学生的是一些法则，不是真正的算理。”什么意思呢？比如在小数加减法，我们总是要强调小数点对齐。小数点对齐不是一种算理，而是一种方法，或者叫一种法则，你要让学生理解，为什么要小数点对齐？小数点对齐的道理是，要使小数点对齐，它的计数单位就对齐了。这样一来，个位可以跟个位对，十分位可以跟十分位对，百分位可以跟百分位对。这样，在同一个单位上的东西就可以进行加减。有的老师用小方块、小长条，小片，孩子也说得非常生动：“我要把，条和条对齐，片和片对齐小方块和小方块对齐。”如果老师总是强调小数点位置要对齐，不给学生去讲背后的道理或者不让他充分理解以后再提这句话的话，孩子会产生在乘法里小数点仍然对齐的错误。在做乘法的时候，一个常的问题就是比如1.25×1.3，有些孩子仍然小数点对齐，当然这也是可以算出来的，比如你把1.3补成是1.30，按照三位数乘三位数（只是打个比方）这样去做，也能做出来，就是比较麻烦，孩子就容易出错。有些孩子就忘记了，把1.25和1.3的小数点对齐，导致了后面的一些错误。问他为什么呢？很大的一个原因就是小数加减法小数点要对齐的负的迁移，这个时候老师就要帮助他理解小数点对齐背后的道理是什么。理解算理，是个非常重要的事情。这里我想强调两点：一是用多种方式让孩子们理解算理；二是在一起研讨，哪种运算，它的算理到底是什么？老师们不妨思考一下，小数乘法为什么不能简单把小数点对齐？这是一个很好值得研究的问题。这是关于算理的第一个问题。

第二个就是算法的自动化。一个总的原则，就是自动化不等同于机械化，其最大区别从心理学角度是机械化缺乏一个内化的过程。如果没有内化而只是练那么就是一个机械化的过程，如果通过真正的理解，方法上的真正理解，通过技术达到一个速度呢，就是自动化。对于算法的自动化，这里主要讲要注意的几个问题。第一个问题是，一定要把握住我们的要求。老师们非常熟悉的比如说对于计算技能的要求，课程标准中有一些明确的要求。简述一下：对20以内的加减法和表内乘除法的口算是要求每分钟8—10题；对100以内加减法的口算在过去标准中没有要求，在这次标准的修订中把它给加上了。100以内加减法口算是每分钟3—4题，那么两位数乘两位数的笔算以及一位数乘两位数或除两位数的笔算是每分钟三到二题。唯一的变化是修订稿中加入了百以内加减法的口算是每分钟3—4题。背景不再说了，如果一定达到非常高的速度，那就没有必要了。学生能达到基本的要求就可以了。老师们要知道， “对于小学生来说，一定要先好，然后再快”。只有选择好的方法，然后你才能关注速度，而不能是我们所说的“先快再好”。正确才是非常重要的，然后在这个基础上，我们再按照标准的要求有关注一下速度。为什么提倡这些呢？我看到过这样一些要求：“下面我们看一下这些题，看谁做得又对又快。”老师经常说这句话，我发现这样一个现象，当老师提出了看谁做得又对又快，或者采用一种比赛的形式，孩子们往往是求快。我曾经访谈过很多学生，他们做得非常快。做得非常快的结果是几乎错了一大堆，而我们老师往往在上课的时候订正，订正又不给学生改错的时间。比如“第一题的答案是几？”“第一题的答案是8”。“第一题的答案是几？”“第一题的答案是3”。“第三题答案是几？”“好！挺好！”说完了，就到了第二大题了。没有给学生改错的时间，所以，孩子做了一大堆，他错了一大堆，最后给孩子还是糊涂的交待。所以，对于一些计算技能开始时要慢一点，要求孩子“我做，就一定要对！我会做，就一定要做对！”做到这样以后，再慢慢地求速度，比老师一开始就求速度，一下子做好多题要好得多。

1 算法自动化的第一个要求，就是一定要先把握住标准：先求对，再求快。在心理学上有一句话，就是“第一印象非常重要。”如果第一印象是错误的，可能你要花加倍的努力去改正。我曾经犯过这样的错误，就是第一印象把名字记错了，哪次叫名字都是错误的。叫了很多遍才把名字纠正过来。在计算教学中，一定争取给学生正确的第一印象。

2、鼓励孩子的算法多样化。第二个要重视的算法自动化的过程就是要重视的是算法的多样化。算法多样化的价值，老师们都已经重视了。即使对于计算教学来说，孩子自己创造的一种计算方法，往往是提高他正确率的一个方法，你会觉得很笨，你会觉得他这样很慢，往往这样慢，孩子会算得很对。只有在慢慢地算得很对的过程中，孩子也许才可能达到自动化的过程。对于二十以内的我们对20以内的加减法要求是每分钟8-10题，他只要算对了，达到了这个要求。有句话“白猫、黑猫逮住老鼠就是好猫。”就是这个意思。比如，举个例子，我儿子的例子。5减3他好不容易知道得2了，6减3，好不容易知道得3了，我们采取的模型就是上楼梯，你上到三层还有几层到六层呢？他想到的是我还要上到四层、五层、六层。我认为他会了，后来我问他这样一个问题“你知道6减3等于3了，那么9减6等于几？”

我自以为孩子仍然用上楼梯，孩子只有5岁，这样算多简单呀！“7层、8层、9层！等于3！”

结果我的孩子怎么算呢？他想了很长一段时间，他算出了等于3。你猜他是怎么算的？他说：“妈妈，10减10等于0，对吧？”我说：“对！”“10减9等于1，10减8等于2，10减7等于3，10减6等于4，那么很显然，9减6等于3！”他用一种类似推理的方法，不厌其烦地做，做得几乎是全对。但是你让他数楼梯，经常出错。因为他弄不清楚，是先从7层数好，还是先从6层数好。常得4，他用他的方法，总能做对。我们不妨等待我们的学生，等待我们的孩子，他们只要做对了，尊重他们的方法。然后一段时间再去说。这是关注学生的一种方法。

3、要设计一些合理的练习。在此引用周玉仁老师的一句话，“练习不等同于重复。”不是做很多题，而是要针对学生的错误，去设计有趣味，有启发的才是好练习。关于练习还有很多理论，老师们可以去进一步研究研究。

4、要关注学生的错误。在练习中，学生会出现大量的错误，我们要了解它，这里要提醒老师们，千万不要认为错误一次就可以纠正。错误一旦形成，你就要花大力气了，所以一定要把握两头，一个就是开始要尽量建立正确的直觉，基本上不让他犯错误，第二就是发现一旦犯错误要想办法赶快纠正，帮助其用有效的方法来进行避免错误的累积。老师们觉得难，就是错误累积。什么意思呢？就是开始一个错误，一个一个错误累积后你离不知道他哪里出错，就可怕了，所以一开始出现错误呢，不是要做多少练习，而是告诉他用有效的方法来进行避免错误的累积。这里有很多的经验，可以是多样化的方法，包括形、数、估算等等帮助他解释。

举个例子。这是华应龙老师的一个例子，例：1.2×1.3=1×1+0.2×0.3（华老师学校学生的错误）计算这题是四项，学生只算了两项，必然是错误的。孩子算这题错误的一个很大的原因是什么呢？还是受小数加减法的负迁移，因为我们在进行小数加减法的时候，我们提倡算法多样化，很多孩子算1.2+1.3的时候，他是先把整数加在一起，再把小数加在一起，1+1再加上0.2+0.3，这是对的。但是这种迁移，你不能直接迁移到小数乘法，在计算小数乘法的时候，你不能把1×1再加上0.2×0.3。问题是出现了这个问题以后，怎么办？问过很多老师，了解到是让学生讲竖式，1.2×1.3应该是四步，四项，让学生看做时是丢了两项。也有的老师让学生讲分配律，让孩子慢慢算。这些都是从数的方法来解决数的问题。这些对于孩子是有用处的，但是，孩子的思维是多种多样的。一定要注意在教学中，多样化的原理，有的孩子可以解决，有的孩子，不能引起他的冲突。孩子可能觉得也对，但是，算一道题呢，孩子仍然是这么做。为什么，因为他没有意识到，为什么这样做。教学之后，没有孩子自己的思维。跟华老师交流后，华老师则采用——形，华应龙老师的思路，用数不行，可以用形。乘法在两位数的形就是面积，指的是两个数乘法。画一个面积，长分成两个部分，一部分是1，一部分是0.2，宽也分成两部分，一部分是1，一部分是0.3，合起来呢是1.2、1.3，乘是什么意思呢？就是求长是1.2，宽是1.3这个图形的面积，这样面积你可进一步地把它分成四份，一份是1×1，一份是1×0.2，一份是1×0.3，一份是0.2×0.3，这样让学生看到只算了两块，没有算其他的两块，让学生感受到，为什么要算四项，而不是两项。当然，也会有老师说，这种方法学生不一定好理解。因为此时我说得比较抽象，但画起来比较直观。

另外，任何一种方法都不是适合于学生的万能方法。我们主要就是要给孩子多样化的方式，帮助不同的孩子纠正错误。有孩子可能从数中得益，有的孩子可能从形中得益。关注学生的错误，用多样化的方法帮助他极少地杜绝可能的错误。

第三，在运算中的一个核心任务，就是挖掘运算的一些其它的价值。这也是一个很好的话题。比如说，在计算教学中怎样培养儿童的数感？怎样在计算中培养孩子推理的能力？怎样在计算中渗透函数的思想？这是计算其它的一些功能。

【主持人】：刚才张丹的介绍，给了我们很多的启发。在新课改以后，我们多数只是茫目地围绕数感作文章，思考，然而没有走进任何一个具体的领域里，细细地研究，每一步教学，它的最关键在哪里。在今后的教学中，我们的重点是就是把握算理是否理解了，算法是否自动化的问题，关于数感、数学思想在计算教学基础上一些其它价值的挖掘。我们应该是去把握住本，再去发挥或是发展其它的价值。

论坛上，天各一方老师的提供案例，“新课改环境下，计算教学需要什么样的情境？”你是否可以做一下指导？

【张丹老师】：计算教学需要什么样的情境？这是一个很大的问题，首先要明确的是情境的目的是什么。最近史宁中校长的一个报告中对情境说得很好，他的原话是这样的，“情境的目的就是交给学生如何进行、学会抽象。”他说的这个抽象的含义包括的很广很广，他认为数学就是抽象的一个过程。当然我们可以把它进一步具体化，情境教学就是帮助学生如何进行抽象、如何进行思考、进行推理等等数学上常见的活动，对于好的情境教学有下面这几个维度。

第一个是现实性；如果寻找的是一个现实情境的话，我希望他更是一个具有现实意义，而不仅仅是套了一个现实场景，但不符合实际背景，现实性还有一个方面，就是还要符合学生的现实背景。好的情境不被学生所理解，也不是一个好的情境。

第二个就是要具有一定挑战性；要是跳一跳才够得着的东西。

第三个就是要富有一定的数学意义；要与计算紧密的结合。

最后一个就是低门坎，多层次。一个好情境不是很难，就是门坎可能很低，每个老师都能做一点，但是每个学生都能得到不同的发展。这是对于一般意义上情境的要求，实际上，对于计算呢，同样也符合这样的要求。

举个例子，例：商不变的性质中（吴正宪）小猴子分桃子。只有情境，关键要设计合理的问题，她中间有个猴子分桃子“6个桃子分给3只猴子，60个桃子分给30只猴子，600个桃子分给300只猴子”，这里是不是多了？这个问题并不是真正意义上的情境问题：它既不具有挑战性，也不具有所谓的低门坎，多层次性，不具有数学意义。我非常喜欢她下面的问题，围绕这个情境，孩子说了，不管是60除以30，600除以30，他们的结果都是2。一般情况下，老师会说，那你观察一下这个算式，它有什么特征？鼓励学生从上往下看，从下往上看。但吴老师问了一个特别好的问题，“那你能不能再写出一些算式，使它们的商仍然是2？”这个问题就非常符合，具有一定的挑战性，同时，她紧紧把握了商不变的规律，富有数学意义，渗透了函数思想，也就是被除数和除数都在变，但是变化中有一个不变，还有一个非常好的特征，它非常符合低门坎、多层次。就是再困难的孩子，他好歹都能写出一个6÷3，或是6000÷3000等于2，好的孩子能写出很多很多好的式子，然后加以分析和整理。临时想到的这个课例，就是想说明情境非常重要。现在问题是，老师容易重视了情境，忽略了情境后问题的设计，怎么一步一步把孩子引导把思维投向深入。情境不在多，关键是对情境的一个挖掘。孙晓天老师的一句话，“什么是问题情境呢？就是容易导向学生思考的情境是一个好的情境。”情境本身能够引发学生曲折或者富有挑战性，同时富有趣味性的思考。所以设计一个情境以后，还要尽可能的设计富有层次性的问题，让孩子们才能一步一步的深入。现在暂时提供一些宏观的建议，如果老师们还有其他细致的问题，我们还可以进行进一步的研讨。

【主持人】刚才张丹老师关于情境问题，为我们提供了一些要求。在计算教学的情境上，我们有了一个很好的线索和方向了。