加载中…二元、三元一次方程组及解法
(2016-09-10 12:31:38) | 分类： 数学基础 |
二元一次方程
方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这种方程叫做二元一次方程。
例：x + y = 10;
2x + y = 16;
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组
把两个二元一次方程合在一次，写成：
就组成了一个方程组，这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，
像这样的方程组叫做二元一次方程组。
两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
解二元一次方程组——代入消元法
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就能将两元一次方程组转化为一元一次方程，这种方法叫消元。
将二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
例如：
有方程组
[x + y = 10;
2x + y = 16]；
将方程1，写为y = 10 - x，这叫含x的代数式表示y，代入到方程2中，实现消元。
2x + (10 - x) = 16;
此时方程2就变成了一元一次方程，解此方程得到 x = 6。
再将x = 6，代入方程1，得出 y = 4。
解二元一次方程（2）——加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例如：
有方程组
[x + y = 10;(1)
2x + y = 16;(2)]
用加减消元法(2) - (1)得出
(2x + y) - (x + y) = 16 - 10;
2x + y - x - y = 6;
x = 6;
代入方程(1)，得y = 4。
三元一次方程组及解法
方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，消去一个未知数。
将“三元”化为“二元”，然后再解二元一次方程组。
应用题：
小明手上有12张面额分别为1、2、5元的纸币，共22元。其中1元的数量是2元的四倍，求1、2、5元各多少张。
先列出三元一次方程组
设：1元x张、2元y张、5元z张
[x + y + z = 12;
x + 2y + 5z = 22;
x = 4y;]
消掉z，转换为二元一次方程组
(1) * 5 得 5x + 5y + 5z = 60
(1) - (2) 得 5x + 5y + 5z - (x + 2y + 5z) = 60 - 22;
5x + 5y + 5z - x - 2y - 5z = 38;
4x + 3y = 38;
得二元一次方程组
[4x + 3y = 38;
x = 4y;]
代入消元，得
4(4y) + 3y = 38;
16y + 3y = 38;
19y = 38;
x = 8;
y = 2;
z = 2;
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