用形象方法理解同余类       08.03.25

同余数概念的理解            

设m是一个固定的正整数，于是称整数a和b针对模m是同余的，是指a-b能够被m整除，即m∣a-b。以代数表达如下，令a=d+pm，b=d+qm，则a-b=(p-q)m，d,p,q也均为整数，且p=nq或q=np(n为整数)，∵m∣(p-q)m，∴m∣a-b。这相当于存在整数c，使得a-b=cm,表示成a≡b(mod m)。

举一个时钟的例子，12点就是0点，那么，2，14，26，38，等等都是同余数，因为它们任意两个数之差都能被12整除，表示为：2≡14≡26≡38(mod 12)。

关于同余类

设d+nm为模m的全体同余数，其中，0≤d<m, m>0,n≥0，这是一个什么概念呢？下面再举一个不恰当的例子。d就好比是一个人兜里的零钱，定义为：小于某一固定面额（0≤d<m）。既然是同余，故此人的零钱数额是固定不变的。m相当于此人携带的整数金钱的面额，且只有一种面额，n则是持有这种面额的数量。d+nm就是全部零钱加上整数钱的总额。d+nm组成了无穷的同余数，构成一个整数集合Z。这就好比：虽然此人兜里的零钱数额不变，但因整钱数额可多可少，从而形成一个零钱尾数相同的资金数额的集合；也可以引申为：有一类人，兜里零钱数额相等，但因整钱数额差异，故他们携带的金额不同。与现实相区别的是，m被假定为可以任意印制成不同整数钱的面额。产生了形象认识后，我们就可以对它赋予严格的定义。

如果按照等价分类，对于每个整数a ，模m同余于a的所有整数组成一个等价类，即同余类，记成[a]。于是[a]=[b]当且仅当a≡b(mod m)。若以上述钟表为例，则对于每个整数，比如2，模12同余于2的所有整数：2、14、26、38、…，组成一个等价类，称同余类，记成[2]。于是 [2]= [14] =[26]=…，当且仅当2≡14≡26≡38≡…(mod 12)。m可以是任意正整数。

完系概念的出现

推而广之，纵向考察余数，由于每个整数模m恰好同余于0，1，2，…，m-1当中的一个数，因此Z_m按模m同余共分成m个等价（同余）类 [0], [1]，…，[m-1]。仍旧举上述模为12的那个例子解释如下：整数0模12同余于0，12，24，…；整数1模12同余于1，13，25…；整数2模12同余于2，14，26，…；…依次类推，存在[0], [1]，…(无论整数多大)模12分别恰好同余于0，1，2，…，11当中的一个数，这个数就是那个整数d（0≤d<m），此时0≤d<11。在整数范围内，无论模是几，Z都可同余成一个d。

于是，上述的限定性引出了“完系”概念：在模m的m个同余类Z_m中每个同余类Z取一个整数，这样取出来的m个整数称为模m的完全代表系，简称完系。所以，m个整数a₁, …,a_m Z_m’是模m的完系，是指这m个数模m彼此不同余，从而每个整数都恰好同余于它们中的一个。例如，0，1，2，…，m-1就是模m的一个完系（这就是d的取值范围：0≤d<m，故也可以说d组成了模m的最基本完系），当然完系很多，任意连续m个整数a,a+1,a+2, …，a+m-1都是模m的完系。在上述例子中，0，1，2…，11是模12的一个基本完系；12，13，14，…，132是另一个；24，25，26，…，264是又一个，等等。

同余类是横向的具体事物的抽象，完系则是纵向的引申和归纳，是抽象的延伸。

同余类“元素”与集合

既然已经把全体整数Z按模m分成m个同余类[0]，[1]，…，[m-1]。现在把每个同余类[a]不在看成是Z的一个子集合，而看成一个抽象的“元素”，而m个元素[0]，[1]，…，[m-1]组成一个新的集合，表示成Z_m。以上述时钟的例子来看，就是钟表划分为12个小时（m=12），按不同小时划分，钟点相同的时刻，无论日期、星期的差异，都一类：比如2点就是[2]，如此划分成：[0]（也即[12]），[1]，…，[11]。以上述零钱的例子来看，就如同在整数钱的面额确定的前提下（比如模m，在m以下的就算作零钱），将兜里有零钱的人分别按照零钱的数额进行划分，携带相同数额零钱（如2块钱）的人，无论其还拥有多少整钱（几箱或几麻袋），都归为一组，加上一个编号（如[2]），如此划分成若干组（[0]，[1]，…，[m-1]）。同余类“元素”与集合的提出是对抽象事物的抽象。

概括总结

现将适用于个别情况下的字母清理排除后，简单概括总结一下上述概念。1、横向一行一行的是同余类，即 [d+nm] （0≤d<m，d固定取值）；2、每一行归并为同余类“元素”，即[d] （0≤d<m，d固定取值）；3、纵向一列一列的是完系，即[d+nm] （0≤d<m，d顺序取值，n固定取值）；4、纵向唯一的那一列同余类“元素”统称为同余类集合，记作Z_m，即[d] （0≤d<m，d顺序取值）。前提是m既定。

撰稿：万军