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虚功原理

(2011-06-04 15:13:06)

标签：

杂谈

虚功原理

虚功原理也称势能原理、虚位移原理。

虚功原理

　设结构在荷载作用下处于平衡状态。假定由于任何其他原因，使结构从其平衡位置偏离一个任意微小的、为边界约束条件所允许的虚位移（可以看作是真实位移的一个变分），荷载在虚位移上所作的虚功，将等于其内部应力在相应应变上所积累的虚变形势能。故虚位移原理可表述为：弹性结构平衡的必要与充分条件是，对于任意微小的虚位移,荷载所作的总虚功δW等于其内部所积累的虚变形势能δU。即δU-δW＝0。　

虚功原理 - 配图

http://a3.att.hudong.com/22/50/01300001186678130154507290642_s.jpg

virtual work principle

弹塑性力学中的虚功原理公式

S--stress

E--Strain

v--volume

b--body force

η--virtual displacement

t--traction force 面力

A-- surface area

如果用虚位移表达的几何可能位移 http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/tanxinglx/txlx/eleventh/IMAGE/t110201.GIF、

和真实应力作为静力可能应力代入功能关系表达式 http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/tanxinglx/txlx/eleventh/image/t110114.gif，注意到真实应力和位移是满足功能关系的，因此可以得到用虚位移d u_i 和虚应变de_ij 表达的虚功方程

http://jpkc.nwpu.edu.cn/dzjc/tanxinglx/txlx/eleventh/image/t110207.gif

上式中应力分量为实际应力。注意到在位移边界S_u上，虚位移是恒等于零的，所以在上述面积分中仅需要在面力边界S_s上完成。

就力学意义而言，虚功原理表达式的等号的左边为外力在虚位移中所做的功，称为外力虚功d W ；右边为应力分量在虚位移对应的虚应变上产生的应变能，称为虚应变能d U 。即

d W =dU

根据上述分析，可以得出结论：如果弹性体是处于静力平衡状态的，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变而言，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。这就是虚功原理。

虚功原理(principle of virtual work)

表明处于平衡状态的变形体在虚位移作用下外力功和内力功关系的理论。虚位移是指满足应变几何方程和位移边界条件的虚拟微小位移。在解析塑性加工力学问题时所用的能量法(见变形力学问题的能量解法)和有限元法(见变形力学问题的有限元解法)均采用变分原理(见弹一塑性变分原理，刚一塑性变分原理，粘一塑性变分原理)，虚功原理是建立各种变分原理的基础。虚功原理认为，当一个连续变形体在外力作用下处于平衡状态时，若给该变形体一符合约束条件的微小虚位移，则外力在虚位移下所作的功必等于内力在相应位移下所作的功。内力所作的功即为与虚位移对应的虚应变所耗费的总功。

设处于平衡状态的变形体，体积为y，总表面积S分为两部分，即S_p和S_u，在S_p上给出表面力p_i=p _i，在S_u上给出位移u_i=u_i在体力f_i和表面为p_i作用下物体处于平衡状态时，必须满足：在V上力平衡方程http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(290).jpg。上角标s，k分别表示静力许可和运动许可。虚功原理表达式为

（1）

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(291).jpg

由于在S_p上http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(293).jpg，式(1)也可写成

（2）

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(294).jpg

将http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(307).jpg代入式(2)的面积分内，并利用数学上的格林(G．Green)公式，得：

（2）

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(308).jpg

于是式（2）左边

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(309).jpg

注意到，力平衡方程http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(310).jpg，则式(2)左边=式(2)右边，从而式(2)得证。

虚功原理表达式(2)是在力平衡方程和几何方程都是线性方程的条件下建立的，因此只适于小变形问题；对于σ^s_ij 和u^k_i（或ε^k_ij）彼此可独立选取，并不要求它们之间有任何联系。所以此原理适于任何性质的变形体如弹性体、弹一塑性体、刚一塑性体和粘一塑性体。

按类似证明式(2)的步骤和方法，可得下式

（3）

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(312).jpg

式(3)称为虚功率原理表达式，也称虚功率方程。式中http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(315).jpg

若令http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(320).jpg，则同样可证得

（4）

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(321).jpg

式(4)称为增量虚功率方程。

若在式(2)中uki为与真实位移ui邻近的任何运动许可位移场，即http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(323).jpg是线性的，在S_u上，δu_i=0，所以δu_i和δε_ij也是运动许可的。于是以δu_i，δε_ij代换式(2)中u^k_i，ε^k_ij，应力场取静力许可的即δ^s_ij则得到

（5）

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(324).jpg

式(5)也常称虚位移原理表达式。同样也可得

(6)

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(325).jpg

式(6)也常称虚速度原理表达式。

推导式(2)～(6)时，假设变形体内应力、位移和速度分布是连续的。然而在求解塑性加工力学问题时常把变形工件看成刚性区和塑性区的组合体，并且其中存在着应力间断和速度(或位移)间断面。可以证明，存在应力间断面不影响虚功(或功率)方程；存在速度间断面S_D(在此面上法向速度v。连续，切向速度仉问断)则影响虚功率方程，此时虚功率原理的表达式(3)可写成

(7)

http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(326).jpg

式中k为屈服剪应力；Δv_t为a、b两面的速度间断量Δv_t=v^a_t—v^b_t；三表示对几个间断面的剪切功率求和。

大变形弹一塑性问题分析中要用大变形的虚功率方程。连续的变形体经微小时间位从一个构形C移到另一个构形C，其间产生的应力速率T_ij。满足：在V上 http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(328).jpg 运动许可的速度场 V^k _i满足在V上http://baike.sososteel.com/uploadfiles/Image/00009(329).jpg同样可得到如下的用拉格朗日应力张量描述的增量虚功率方程：